Aplicando o Teorema de Green, calcule a integral
 
em que 
  é o círculo 
  orientado no sentido anti-horário. Resp.: 
 .
Passo 1
Vamos resumir o que temos aqui: precisamos calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral é
onde 
  é o círculo 
  orientado no sentido anti-horário. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre uma região.
Passo 2
O Teorema de Green nos diz que, para uma curva 
  fechada e positivamente orientada, e uma região 
  limitada por 
 ,
Neste caso, temos:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Usando a regra do quociente:
Passo 4
Agora, calculamos:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 5
Substituindo as derivadas no Teorema de Green:
Isso sugere que a integral de linha seria zero, mas isso contradiz a resposta esperada. Vamos verificar nossa abordagem.
Passo 6
Percebi que houve um erro na aplicação do Teorema de Green. Na verdade, o denominador 
  sugere que podemos simplificar a integral usando coordenadas polares.
Vamos mudar para coordenadas polares, onde 
  e 
 . Assim, 
 , então 
 .
Passo 7
Expressando 
  e 
  em coordenadas polares:
Passo 8
Agora, a integral de linha se torna:
Em coordenadas polares, 
  e 
 . Porém, como estamos em um círculo 
 , 
 .
Então:
Passo 9
Substituindo na integral:
Simplificando:
Como 
 :
Passo 10
Observamos que:
Então:
Integrando de 
  a 
 :
Utilizando a identidade 
 :
Sabemos que:
Aplicando com 
  e 
 :