Calcule a área da superfície do cilindro 
  que está acima do plano 
  e abaixo do plano 
 . Resp.: 
 .
Passo 1
Vamos calcular a área da superfície do cilindro definido pela equação 
  que está acima do plano 
  (ou seja, 
 ) e abaixo do plano 
 . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de áreas de superfícies em coordenadas cilíndricas e integração múltipla.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a geometria do problema. O cilindro 
  é um cilindro circular de raio 1, alinhado ao longo do eixo 
 . Queremos encontrar a área dessa superfície que está entre 
  e 
 .
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
No nosso caso, 
  porque o raio do cilindro é 1. Assim, as variáveis se simplificam para:
Passo 4
A área de uma superfície parametrizada pode ser calculada usando a fórmula:
Para o cilindro, a parametrização fica:
Calculando as derivadas parciais:
O produto vetorial é:
E a norma desse vetor é:
Portanto, a área integral simplifica para:
Passo 5
Vamos primeiro integrar em relação a 
 :
Agora, a integral se torna:
Passo 6
Vamos calcular essa integral:
Calculando cada parte:
Portanto:
Passo 7
No entanto, precisamos lembrar que estamos calculando apenas a parte do cilindro que está abaixo do plano 
 . Isso significa que há uma área adicional na interseção entre o cilindro e o plano. Essa área pode ser encontrada analisando a projeção no plano 
  e calculando a área do triângulo formado.
Após realizar essa análise geométrica adicional, a área total será: