Calcule a integral.
integralgamma(y+z x) d x+(y+z^2) d y+(x+3 y) d z, gamma(s)=(s, s^2, 2 s), s in[0,2]

Passo 1

A questão pede para calcular a integral de linha integralgammaP,dx + Q,dy + R,dz, onde o campo vetorial é dado por
P(x,y,z)=y+zx,
Q(x,y,z)=y+z^2,
R(x,y,z)=x+3y
e a curva é gamma(s)=(s,s^2,2s) para sin[0,2]. O conteúdo envolvido é integral de linha de campos vetoriais, e vamos precisar usar a parametrização da curva e as derivadas dos seus componentes para montar a integral em uma única variável.

Passo 2

Primeiro parametrize o campo ao longo de gamma. Ou seja, substitua
x=s,
y=s^2,
z=2s
Calcule também as derivadas:
x'(s)=1,
y'(s)=2s,
z'(s)=2

Passo 3

Agora, substitua (x,y,z)=(s,s^2,2s) nas componentes do campo:
P(s)=y + zx = s^2 + (2s)cdot s = 3s^2,
Q(s)=y + z^2 = s^2 + (2s)^2 = 5s^2,
R(s)=x + 3y = s + 3s^2

Passo 4

Monte o integrando da integral de linha usando a definição
integralgammaP,dx + Q,dy + R,dz = integral0^2l[P(s)x'(s) + Q(s)y'(s) + R(s)z'(s)r]ds
Substituindo os valores:
P(s)x'(s)=3s^2cdot1=3s^2,
Q(s)y'(s)=5s^2cdot2s=10s^3,
R(s)z'(s)=(s+3s^2)cdot2=2s+6s^2
Somando:
3s^2 + 10s^3 + (2s + 6s^2) = 10s^3 + 9s^2 + 2s

Passo 5

Finalmente, integre em s de 0 a 2:
integral0^2(10s^3 + 9s^2 + 2s),ds = l[tfrac104s^4 + tfrac93s^3 + tfrac22s^2r]0^2 = l[tfrac52s^4 + 3s^3 + s^2r]0^2
Calcule em s=2:
tfrac52cdot16 + 3cdot8 + 4 = 40 + 24 + 4 = 68

Resposta

68

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