Calcule a integral.
Passo 1
A questão pede para calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial é dado por
P(x,y,z)=y+zx,
Q(x,y,z)=y+z^2,
R(x,y,z)=x+3y
e a curva é para
. O conteúdo envolvido é integral de linha de campos vetoriais, e vamos precisar usar a parametrização da curva e as derivadas dos seus componentes para montar a integral em uma única variável.
P(x,y,z)=y+zx,
Q(x,y,z)=y+z^2,
R(x,y,z)=x+3y
e a curva é
Passo 2
Primeiro parametrize o campo ao longo de
. Ou seja, substitua
Calcule também as derivadas:
Passo 3
Agora, substitua
nas componentes do campo:
Passo 4
Monte o integrando da integral de linha usando a definição
Substituindo os valores:
Somando:
Passo 5
Finalmente, integre em
de 0 a 2:
Calcule em
:
Resposta
68