Calcule a integral
integralgamma(x y+raizx^2+1x^4+5) d x+(x^2+y^2-ln (y^2+1)e^-y^2+1) d y
sendo gamma a curva fechada fronteira da região limitada por y=x^2 e y-x=2, orientada no sentido anti-horário. (resp.: 94.)

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
integralgammal(xy+raiztfracx^2+1x^4+5r),dx+l(x^2+y^2-tfracln(y^2+1)e^-y^2+1r),dy
onde gamma é a fronteira, orientada anti-horário, da região entre y=x^2 e y - x = 2. Vamos usar o Teorema de Green, que diz
ointgammaP,dx+Q,dy ;=;integral duplaDl(partialx Q-partialy Pr),dA

Passo 2

Precisamos descrever o domínio D. As curvas são
y = x^2 e y = x+2
Para achar as interseções, igualamos x^2=x+2, obtendo
x^2-x-2=0 ;Rightarrow; x=1pmraiz1+82 ;Rightarrow; x=-1,,2
Logo D=(x,y)mid -1<= x<=2,;x^2<= y<= x+2.

Passo 3

Identificamos
P(x,y)=xy+raiztfracx^2+1x^4+5, Q(x,y)=x^2+y^2-tfracln(y^2+1)e^-y^2+1
Calculamos as derivadas parciais:
partialxQ = 2x (pois o termo com (ln) depende só de (y)), ó
partialyP = x (pois a raiz depende só de (x)) ó
Logo o integrando de Green é
partialx Q - partialy P = 2x - x = x

Passo 4

Pelo Teorema de Green,
ointgammaP,dx+Q,dy =integral duplaDx,dA =integralx=-1^2integraly=x^2^,x+2x,dy,dx
Integramos primeiro em y:
integraly=x^2^,x+2x,dy = xl[(x+2)-x^2r] = x,(x+2 - x^2)

Passo 5

Agora integramos em x:
integral-1^2 x,(x+2 - x^2),dx =integral-1^2l(x^2+2x - x^3r),dx =l[tfracx^33+x^2-tfracx^44r]-1^2
Em x=2 isso vale
tfrac83+4-tfrac164 =tfrac83,
em x=-1 vale
-tfrac13+1-tfrac14 =tfrac512
Subtraindo,
tfrac83-tfrac512 =tfrac32-512 =tfrac2712 =tfrac94

Resposta

94

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