Calcule a integral
sendo
gamma a curva fechada fronteira da região limitada por
y=x^2 e
y-x=2 , orientada no sentido anti-horário. (resp.:
94 .)
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
onde
gamma é a fronteira, orientada anti-horário, da região entre
y=x^2 e
y - x = 2 . Vamos usar o Teorema de Green, que diz
Passo 2
Precisamos descrever o domínio
D . As curvas são
Para achar as interseções, igualamos
x^2=x+2 , obtendo
Logo
D=(x,y)mid -1<= x<=2,;x^2<= y<= x+2 .
Passo 3
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais:
Logo o integrando de Green é
Passo 4
Pelo Teorema de Green,
Integramos primeiro em
y :
Passo 5
Agora integramos em
x :
Em
x=2 isso vale
em
x=-1 vale
Subtraindo,