1. (x^2-1) d yd x+2 y=(x+1)^2

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem
(x^2-1),dydx+2y=(x+1)^2
que é uma EDO linear no formato P(x),dy/dx+Q(x),y=R(x).
Conteúdo: método do fator integrante para EDOs lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro dividimos tudo por x^2-1 (supondo xneqpm1) para colocar em forma padrão
dydx+2x^2-1,y=(x+1)^2x^2-1
Aqui P(x)=2x^2-1 e o lado direito é Q(x)=(x+1)^2x^2-1.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x)=exp!l(integral P(x),dxr) =exp!l(integral 2x^2-1,dxr)
Fazendo frações parciais
2x^2-1=1x-1-1x+1,
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integral2x^2-1,dx =ln!l|x-1r|-ln!l|x+1r| =ln!l|x-1x+1r|
Assim
mu(x)=x-1x+1

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(x) obtemos
x-1x+1,dydx +x-1x+1cdot2x^2-1,y =x-1x+1,(x+1)^2x^2-1
O lado esquerdo é exata a dfracddxl[mu(x),yr]. No lado direito simplifica-se
x-1x+1,(x+1)^2(x-1)(x+1)=1,
ficando
ddxl[x-1x+1,yr]=1

Passo 5

Integramos ambos os lados em x:
x-1x+1,y=integral 1,dx=x+C,
onde C é a constante de integração. Finalmente isolamos y:
y=(x+C),x+1x-1

Resposta

y(x)=(x+C),(x+1)x-1,
com C constante arbitrária.

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