Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.
h(x)=raizx^2-4

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função
h(x)=raizx^2-4
  1. Encontrar o domínio, ou seja, todos os x para os quais o radical é real.
  2. Esboçar o gráfico de y=h(x), entendendo seu comportamento em cada região do domínio.

Passo 2

Para que a expressão dentro da raiz seja não-negativa, precisamos de
x^2-4 >= 0,
Resolvendo a desigualdade:
x^2>=4 Longrightarrow x<= -2 ou x>=2
Logo, o domínio é
xmid x<= -2cupxmid x>=2 =(-infty,-2]cup[2,infty)

Passo 3

Para entender o formato do gráfico, elevamos ao quadrado:
y=raizx^2-4 Longrightarrow y^2=x^2-4 Longrightarrow x^2-y^2=4
Isso é a equação de uma hipérbole centrada na origem, mas como y=raizcdot>=0, só fica a “metade superior” dessa hipérbole.

Passo 4

Características do esboço:
– Interseções com o eixo x em (-2,0) e (2,0).
– Dois ramos: um para x<= -2 (no 2º quadrante, y>=0) e outro para x>=2 (no 1º quadrante).
– À medida que |x|toinfty, temos
raizx^2-4sim|x|
de modo que cada ramo se aproxima da reta y=|x| como assíntota oblíqua.

Resposta

O domínio é
(-infty,-2]cup[2,infty)
O gráfico é a parte superior da hipérbole x^2-y^2=4, com dois ramos em (-infty,-2] e em [2,infty), ambos com y>=0, passando por (-2,0) e (2,0) e tendendo a y=|x| quando |x|toinfty.

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