Calcule a integral integralpi / 4^pi / 3 sen(x) d x.

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral definida de sen(x) de π/4 até π/3. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo de integrais, especificamente integrais definidas. Pra resolver isso, vamos precisar saber qual é a antiderivada de sen(x) e como aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para calcular uma integral definida, a gente precisa encontrar a antiderivada da função que está integrando. A antiderivada de sen(x) é -cos(x). Isso porque a derivada de -cos(x) é sen(x).

Passo 3

Agora que temos a antiderivada, vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema diz que para calcular a integral definida de uma função, a gente avalia a antiderivada nos limites superior e inferior e subtrai os resultados.

Passo 4

Vamos então substituir os limites na antiderivada:
  • Primeiro, substituímos x por π/3:
    -cos(π/3) = -cos(60°) = -0,5
  • Depois, substituímos x por π/4:
    -cos(π/4) = -cos(45°) = -√2/2

Passo 5

Agora, subtraímos o valor da antiderivada no limite inferior do valor no limite superior:
(-0,5) - (-√2/2) = -0,5 + √2/2

Resposta

A integral integralpi / 4^pi / 3 sen(x) d x é igual a - dfrac12 + dfracraiz22.

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