Usando a definição de limite, mostrar que: lim (x, y) longrightarrow(2,1) 5 x+3 y=13 b) lim (x, y) longrightarrow(0,0) x^2 yx^2+y^2=0 c) lim (x, y) longrightarrow(0,0) 2 x yraizx^2+y^2=0 d) lim (x, y) longrightarrow(0,0) e^-1x^2+y^2=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esses limites usando a definição de limite para funções de duas variáveis. A ideia aqui é mostrar que, conforme (x, y) se aproxima de um ponto específico, a função se aproxima de um valor certo. Precisamos entender conceitos de limites multivariáveis e utilizar algumas técnicas para provar que o limite realmente existe e é igual ao valor esperado.

Passo 2

Vamos começar com a parte b): lim (x, y) longrightarrow(0,0) x^2 yx^2+y^2=0.
Primeiro, observamos que tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando (x, y) se aproximam de (0,0), então precisamos analisar o comportamento da fração.

Passo 3

Para mostrar que o limite é zero, vamos usar uma desigualdade para estimar o valor absoluto da função:
| x^2 yx^2+y^2 | <= |x|^2 |y|x^2+y^2

Passo 4

Agora, notamos que x^2 <= x^2 + y^2, então podemos simplificar:
|x|^2 |y|x^2+y^2 <= |y|

Passo 5

Como (x, y) se aproxima de (0,0), $ |y| $ também tende a zero. Portanto, pela desigualdade que estabelecemos,
|y|

Passo 6

Agora, vamos para a parte c): lim (x, y) longrightarrow(0,0) 2 x yraizx^2+y^2=0.
Aqui, queremos mostrar que à medida que (x, y) se aproxima de (0,0), a expressão 2 x yraizx^2+y^2 tende a zero.

Passo 7

Primeiro, vamos analisar o valor absoluto da função:
| 2 x yraizx^2+y^2 | = 2 |x| |y|raizx^2+y^2

Passo 8

Usando a desigualdade geométrica $ |x| \leq \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ e $ |y| \leq \sqrt{x^{2} + y^{2}} $, temos:
|x| <= raizx^2 + y^2
Portanto,
|y| <= raizx^2 + y^2

Passo 9

Substituindo na expressão original:
2 |x y|raizx^2+y^2 <= x^2 + y^2raizx^2+y^2 = raizx^2 + y^2

Passo 10

Como raizx^2 + y^2 0 quando (x, y) (0,0), então:
| 2 x yraizx^2+y^2 | <= raizx^2 + y^2 0

Passo 11

Por fim, vamos resolver a parte d): lim (x, y) longrightarrow(0,0) e^-1x^2+y^2=0.
Queremos mostrar que, conforme (x, y) se aproxima de (0,0), a expressão e^-1x^2+y^2 tende a zero.

Passo 12

Observamos que x^2 + y^2 é sempre positivo (exceto em (0,0)) e à medida que (x, y) se aproxima de (0,0), x^2 + y^2 0.

Passo 13

Então, o expoente -1x^2+y^2 se torna um número muito negativo, já que o denominador está indo para zero. Assim:
-1x^2+y^2 -infty

Passo 14

Sabemos que e^-infty = 0. Portanto,
e^-1x^2+y^2 0 quando (x, y) (0,0)

Resposta

Assim, lim (x, y) longrightarrow(0,0) e^-1x^2+y^2 = 0.

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