Usando a definição de limite, mostrar que: b) c) d) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esses limites usando a definição de limite para funções de duas variáveis. A ideia aqui é mostrar que, conforme se aproxima de um ponto específico, a função se aproxima de um valor certo. Precisamos entender conceitos de limites multivariáveis e utilizar algumas técnicas para provar que o limite realmente existe e é igual ao valor esperado.
Passo 2
Vamos começar com a parte b): .
Primeiro, observamos que tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando se aproximam de , então precisamos analisar o comportamento da fração.
Passo 3
Para mostrar que o limite é zero, vamos usar uma desigualdade para estimar o valor absoluto da função:
Passo 4
Agora, notamos que x^2 <= x^2 + y^2, então podemos simplificar:
|x|^2 |y|x^2+y^2 <= |y|
Passo 5
Como (x, y) se aproxima de (0,0), $ |y| $ também tende a zero. Portanto, pela desigualdade que estabelecemos,
|y|
Passo 6
Agora, vamos para a parte c): lim (x, y) longrightarrow(0,0) 2 x yraizx^2+y^2=0.
Aqui, queremos mostrar que à medida que (x, y) se aproxima de (0,0), a expressão 2 x yraizx^2+y^2 tende a zero.
Passo 7
Primeiro, vamos analisar o valor absoluto da função:
| 2 x yraizx^2+y^2 | = 2 |x| |y|raizx^2+y^2
Passo 8
Usando a desigualdade geométrica $ |x| \leq \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ e $ |y| \leq \sqrt{x^{2} + y^{2}} $, temos: