Calcule a integral invertendo antes a ordem de integração.
\int_{0}^{1} \int_{4 x}^{4} e^{-y^{2}} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{1}\int_{4x}^{4}e^{-y^{2}}\,dy\,dx
trocando a ordem de integração. O conteúdo envolve duplas integrais e geometria da região de integração.

Passo 2

Definimos a região
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;4x\le y\le4\}.
No plano, as fronteiras são as retas y=4x, y=4, x=0 e x=1. Para inverter a ordem, observamos que y varia de 0 até 4 e, para um dado y, a condição 4x\le y com x\ge0 0\le x\le y/4 (como y\le4, temos y/4\le1).

Passo 3

Trocando a ordem de integração,
\int_{0}^{1}\int_{4x}^{4}e^{-y^{2}}\,dy\,dx = \int_{0}^{4}\int_{0}^{y/4}e^{-y^{2}}\,dx\,dy.
Como e^{-y^{2}} independe de x, a integral interna é
\int_{0}^{y/4}e^{-y^{2}}\,dx =\Bigl[x\Bigr]_{0}^{y/4}e^{-y^{2}} =\frac{y}{4}e^{-y^{2}}.

Passo 4

Substituindo no integral exterior:
\int_{0}^{4}\frac{y}{4}e^{-y^{2}}\,dy =\frac{1}{4}\int_{0}^{4}y\,e^{-y^{2}}\,dy.
Fazendo a troca de variável u=y^{2}, du=2y\,dy ou y\,dy=du/2, os limites passam de y=0\to u=0 e y=4\to u=16. Logo,
\frac{1}{4}\int_{0}^{4}y\,e^{-y^{2}}\,dy =\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}\int_{0}^{16}e^{-u}\,du =\frac{1}{8}\Bigl[-e^{-u}\Bigr]_{0}^{16} =\frac{1}{8}\bigl(1-e^{-16}\bigr).

Resposta

\frac{1-e^{-16}}{8}.

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