Calcule a integral invertendo antes a ordem de integração.
\int_{0}^{4} \int_{\sqrt{y}}^{2} e^{x^{3}} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{4}\!\int_{\sqrt{y}}^{2} e^{x^{3}}\;dx\,dy
trocando antes a ordem de integração. O conteúdo aqui é mudança de ordem em integrais duplas e integração de função que depende só de x.

Passo 2

Vamos descrever a região de integração D no plano xy. As desigualdades são
0 \le y \le 4, \qquad \sqrt{y} \le x \le 2.
A condição \sqrt{y}\le x equivale a y \le x^{2}, junto com y\ge0. Como x\le2, temos
0 \le x \le 2, \qquad 0 \le y \le x^{2}.

Passo 3

Invertendo a ordem de integração e integrando primeiro em y, a integral fica
\int_{0}^{2}\!\int_{0}^{x^{2}} e^{x^{3}}\;dy\,dx.
Como e^{x^{3}} não depende de y, a integração interna dá
\int_{0}^{x^{2}} e^{x^{3}}\;dy = x^{2}\,e^{x^{3}}.
Logo a integral passa a ser
\int_{0}^{2} x^{2}\,e^{x^{3}}\;dx.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int_{0}^{2} x^{2}\,e^{x^{3}}\,dx use a substituição
u = x^{3}, \quad du = 3x^{2}\,dx, \quad x=0\mapsto u=0, \quad x=2\mapsto u=8.
Então
x^{2}\,dx = \frac{du}{3},
e
\int_{0}^{2} x^{2}\,e^{x^{3}}\,dx = \int_{0}^{8} e^{u}\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{8} = \frac{e^{8}-1}{3}.

Resposta

\frac{e^{8}-1}{3}.

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