Expresse a integral como uma integral equivalente com a ordem de integração invertida.
\int_{0}^{1} \int_{y^{2}}^{\sqrt{y}} f(x, y) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
\int_{0}^{1}\!\int_{y^{2}}^{\sqrt{y}} f(x,y)\,dx\,dy.
O domínio D\subset\mathbb{R}^2 é dado por
0\le y\le1,\quad y^2\le x\le\sqrt{y}.

Passo 2

Para determinar o intervalo de x, projetamos D no eixo x. Como em D temos x=y^2 e x=\sqrt{y} com 0\le y\le1, o menor valor de x ocorre em y=0 (dando x=0) e o maior em y=1 (dando x=1). Logo,
0\le x\le1.

Passo 3

Para cada x em [0,1], as desigualdades y^2\le x e x\le\sqrt{y} definem y.
Da primeira y^2\le x temos y\le\sqrt{x} (e y\ge0).
Da segunda x\le\sqrt{y} temos y\ge x^2.
Assim, para um dado x\in[0,1],
x^2\le y\le\sqrt{x}.

Passo 4

Substituindo esses limites, a integral invertida fica
\int_{x=0}^{1}\!\int_{y=x^2}^{\sqrt{x}} f(x,y)\,dy\,dx.

Resposta

\int_{0}^{1}\int_{x^2}^{\sqrt{x}} f(x,y)\,dy\,dx.

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