) Calcule a integral, invertendo o domínio de integração
Passo 1
Beleza! Vamos dar uma olhada no problema. Precisamos calcular a integral dupla:
O conteúdo aqui envolve integrais duplas e, especificamente, inverter a ordem de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar os limites de integração quando trocamos a ordem das integrais. Basicamente, vamos transformar a região de integração para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração original. Temos:
-
varia de 0 a 4. - Para cada
, varia de até 2.
Vamos representar isso graficamente para visualizar melhor. Imagine o plano
:
- A curva
é equivalente a .
Então, a região está limitada por
,
,
, e
.
Passo 3
Agora, vamos inverter a ordem de integração. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Para isso, precisamos determinar os novos limites.
Observando a região:
-
varia de a . - Para cada
, varia de a (já que dentro da região).
Portanto, a integral invertida fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral invertida passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a
:
Como
é constante em relação a
, a integral fica:
Passo 5
Agora, substituímos essa expressão de volta na integral externa:
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição u. Vamos definir:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Substituindo na integral:
Calculamos os novos limites:
- Quando
, . - Quando
, .
Então, a integral fica:
Passo 7
Integrando
:
Aplicando os limites:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
O valor da integral é
.