(2,0 / ) Calcule a integral, invertendo o domínio de integração
integral0^4 integralraizy^2 sen(pi x^38) d x d y

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no problema. Precisamos calcular a integral dupla:
integral0^4 integralraizy^2 sin(pi x^38) , dx , dy
O conteúdo aqui envolve integrais duplas e, especificamente, inverter a ordem de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar os limites de integração quando trocamos a ordem das integrais. Basicamente, vamos transformar a região de integração para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração original. Temos:
  • y varia de 0 a 4.
  • Para cada y , x varia de raizy até 2.
Vamos representar isso graficamente para visualizar melhor. Imagine o plano xy :
  • A curva x = raizy é equivalente a y = x^2 .
Então, a região está limitada por y = 0 , y = 4 , x = raizy , e x = 2 .

Passo 3

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a y e depois em relação a x . Para isso, precisamos determinar os novos limites.
Observando a região:
  • x varia de 0 a 2 .
  • Para cada x , y varia de 0 a x^2 (já que y <= x^2 dentro da região).
Portanto, a integral invertida fica:
integral0^2 integral0^x^2 sin(pi x^38) , dy , dx

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral invertida passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a y :
integral0^x^2 sin(pi x^38) , dy
Como sin(pi x^38) é constante em relação a y , a integral fica:
sin(pi x^38) cdot [ y ]0^x^2 = sin(pi x^38) cdot x^2

Passo 5

Agora, substituímos essa expressão de volta na integral externa:
integral0^2 x^2 sin(pi x^38) , dx
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição u. Vamos definir:
u = pi x^38
Então, a derivada de u em relação a x é:
dudx = 3pi x^28 implies du = 3pi x^28 dx

Passo 6

Agora, resolvemos para x^2 dx :
x^2 dx = 83pi du
Substituindo na integral:
integralu(0)^u(2) sin(u) cdot 83pi , du
Calculamos os novos limites:
  • Quando x = 0 , u = 0 .
  • Quando x = 2 , u = pi (2)^38 = 8pi8 = pi .
Então, a integral fica:
83pi integral0^pi sin(u) , du

Passo 7

Integrando sin(u) :
integral sin(u) , du = -cos(u)
Aplicando os limites:
83pi [ -cos(u) ]0^pi = 83pi ( -cos(pi) + cos(0) )
Sabemos que cos(pi) = -1 e cos(0) = 1 , então:
83pi ( -(-1) + 1 ) = 83pi (1 + 1) = 83pi cdot 2 = 163pi

Resposta

O valor da integral é dfrac163pi .

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