Calcule a integral iterada abaixo ( 25 pontos)
integral0^2 integral0^raiz4-y^2 integral0^raiz4-x^2-y^2 1x^2+y^2+z^2 d z d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma integral tripla, que basicamente nos ajuda a calcular volumes ou outras grandezas em um espaço tridimensional. No caso, queremos calcular a integral:
integral0^2 integral0^raiz4-y^2 integral0^raiz4-x^2-y^2 1x^2+y^2+z^2 , dz , dx , dy
Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas esféricas, que facilitam bastante quando a região de integração tem simetria esférica, como é o caso aqui. Vamos passo a passo entender como fazer isso!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são coordenadas esféricas. Em vez de usar as coordenadas cartesianas (x, y, z), nas coordenadas esféricas usamos:
  • r : a distância do ponto até a origem.
  • theta : o ângulo no plano xy a partir do eixo x.
  • phi : o ângulo a partir do eixo z para o ponto.
A relação entre as coordenadas cartesianas e esféricas é dada por:
x = r sinphi costheta
y = r sinphi sintheta
z = r cosphi
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
dV = r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta

Passo 3

Agora, vamos reescrever a nossa integral tripla em coordenadas esféricas. O integrando original é:
1x^2+y^2+z^2
Em coordenadas esféricas, x^2+y^2+z^2 = r^2 , então o integrando fica:
1r^2
Multiplicando pelo elemento de volume, a integral fica:
integral integral integral 1r^2 cdot r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta = integral integral integral sinphi , dr , dphi , dtheta
Isso simplifica bastante a expressão!

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração em coordenadas esféricas. Observando o enunciado original:
  • z varia de 0 a raiz4 - x^2 - y^2 , o que representa a parte superior de uma esfera de raio 2 no primeiro octante.
  • Similarmente, x e y também variam de 0 a limites que mantêm x^2+y^2+z^2 <= 4 .
Em coordenadas esféricas, isso significa que:
  • r varia de 0 a 2 (raio da esfera).
  • phi varia de 0 a pi2 (pois estamos no primeiro octante, acima do plano xy).
  • theta varia de 0 a pi2 (primeiro quadrante no plano xy).

Passo 5

Com os limites definidos, nossa integral em coordenadas esféricas fica:
integral0^pi2 integral0^pi2 integral0^2 sinphi , dr , dphi , dtheta
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a r :
integral0^2 sinphi , dr = sinphi cdot r g|0^2 = 2 sinphi
Agora, a integral fica:
integral0^pi2 integral0^pi2 2 sinphi , dphi , dtheta

Passo 7

Agora, integramos em relação a phi :
integral0^pi2 2 sinphi , dphi = 2 ( -cosphi ) g|0^pi2 = 2 ( -cos(pi2) + cos(0) ) = 2 (0 + 1) = 2
A integral agora se simplifica para:
integral0^pi2 2 , dtheta = 2 theta g|0^pi2 = 2 cdot pi2 = pi

Resposta

pi

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