Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma integral tripla, que basicamente nos ajuda a calcular volumes ou outras grandezas em um espaço tridimensional. No caso, queremos calcular a integral:
Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas esféricas, que facilitam bastante quando a região de integração tem simetria esférica, como é o caso aqui. Vamos passo a passo entender como fazer isso!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são coordenadas esféricas. Em vez de usar as coordenadas cartesianas (x, y, z), nas coordenadas esféricas usamos:
: a distância do ponto até a origem.
: o ângulo no plano xy a partir do eixo x.
: o ângulo a partir do eixo z para o ponto.
A relação entre as coordenadas cartesianas e esféricas é dada por:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a nossa integral tripla em coordenadas esféricas. O integrando original é:
Em coordenadas esféricas, , então o integrando fica:
Multiplicando pelo elemento de volume, a integral fica:
Isso simplifica bastante a expressão!
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração em coordenadas esféricas. Observando o enunciado original:
varia de 0 a , o que representa a parte superior de uma esfera de raio 2 no primeiro octante.
Similarmente, e também variam de 0 a limites que mantêm .
Em coordenadas esféricas, isso significa que:
varia de 0 a 2 (raio da esfera).
varia de 0 a (pois estamos no primeiro octante, acima do plano xy).
varia de 0 a (primeiro quadrante no plano xy).
Passo 5
Com os limites definidos, nossa integral em coordenadas esféricas fica: