Seja R o paralelogramo de vértices (1,0),(1,2),(2,1) e (0,1). Mediante as transformações u=x-y e v=x+y. Calcule a integral abaixo: ( 25 pontos)
integral duplaR(1-x^2-y^2) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular uma integral dupla sobre um paralelogramo R definido pelos vértices (1,0), (1,2), (2,1) e (0,1). O conteúdo envolve cálculo integral em várias variáveis e mudança de coordenadas usando as transformações u = x - y e v = x + y . Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar as coordenadas e calcular o determinante da transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região R . Os vértices do paralelogramo são (1,0), (1,2), (2,1) e (0,1). Isso forma um paralelogramo inclinado no plano xy .

Passo 3

Agora, vamos usar as transformações dadas:
u = x - y v = x + y
Precisamos expressar x e y em termos de u e v . Para isso, vamos resolver o sistema de equações:
u = x - y v = x + y
Somando as duas equações:
u + v = (x - y) + (x + y) = 2x Rightarrow x = u + v2
Subtraindo a primeira equação da segunda:
v - u = (x + y) - (x - y) = 2y Rightarrow y = v - u2
Então, temos:
x = u + v2 y = v - u2

Passo 4

Precisamos calcular o determinante da matriz jacobiana dessa transformação para mudar as variáveis na integral. A matriz jacobiana J é dada por:
J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v
Calculando as derivadas:
partial xpartial u = 12, partial xpartial v = 12 partial ypartial u = -12, partial ypartial v = 12
Então,
J = 12 & 12 -12 & 12
O determinante de J é:
det(J) = ( 12 times 12 ) - ( 12 times -12 ) = 14 + 14 = 12

Passo 5

Agora, vamos determinar os novos limites de integração em termos de u e v . Para isso, vamos transformar os vértices do paralelogramo:
Para (1,0):
u = 1 - 0 = 1 v = 1 + 0 = 1
Para (1,2):
u = 1 - 2 = -1 v = 1 + 2 = 3
Para (2,1):
u = 2 - 1 = 1 v = 2 + 1 = 3
Para (0,1):
u = 0 - 1 = -1 v = 0 + 1 = 1
Assim, os limites de u vão de -1 a 1 e os de v vão de 1 a 3.

Passo 6

Agora, vamos reescrever a função a ser integrada em termos de u e v . A função dada é 1 - x^2 - y^2 . Substituindo x e y :
x = u + v2 y = v - u2
Então,
1 - x^2 - y^2 = 1 - ( u + v2 )^2 - ( v - u2 )^2
Vamos simplificar isso:
= 1 - (u + v)^24 - (v - u)^24 = 1 - u^2 + 2uv + v^2 + v^2 - 2uv + u^24 = 1 - 2u^2 + 2v^24 = 1 - u^2 + v^22

Passo 7

Agora, substituímos tudo na integral transformada:
integral duplaR (1 - x^2 - y^2) , dx , dy = integral duplaR' (1 - u^2 + v^22) | det(J) | , du , dv
Sabemos que det(J) = 12 , então:
= integral duplaR' (1 - u^2 + v^22) times 12 , du , dv = 12 integral duplaR' (1 - u^2 + v^22) , du , dv

Passo 8

Agora, vamos integrar em u de -1 a 1 e em v de 1 a 3:
12 integralv=1^3 integralu=-1^1 (1 - u^2 + v^22) , du , dv
Vamos resolver a integral interna primeiro (em u ):
integral-1^1 (1 - u^2 + v^22) , du = integral-1^1 1 , du - 12 integral-1^1 u^2 , du - v^22 integral-1^1 du
Calculando cada parte:
integral-1^1 1 , du = 2 integral-1^1 u^2 , du = 23 integral-1^1 du = 2
Então:
= 2 - 12 times 23 - v^22 times 2 = 2 - 13 - v^2 = 63 - 13 - v^2 = 53 - v^2

Passo 9

Agora, substituímos isso na integral externa:
12 integral1^3 ( 53 - v^2 ) , dv = 12 [ 53 v - v^33 ]1^3
Calculando nos limites:
Para v = 3 :
53 times 3 - 3^33 = 5 - 9 = -4
Para v = 1 :
53 times 1 - 1^33 = 53 - 13 = 43
Então,
12 ( -4 - 43 ) = 12 ( -163 ) = -83

Resposta

O valor da integral é -83.

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