Seja o paralelogramo de vértices e . Mediante as transformações e . Calcule a integral abaixo: ( 25 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular uma integral dupla sobre um paralelogramo definido pelos vértices , , e . O conteúdo envolve cálculo integral em várias variáveis e mudança de coordenadas usando as transformações e . Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar as coordenadas e calcular o determinante da transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região . Os vértices do paralelogramo são , , e . Isso forma um paralelogramo inclinado no plano .
Passo 3
Agora, vamos usar as transformações dadas:
Precisamos expressar e em termos de e . Para isso, vamos resolver o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Então, temos:
Passo 4
Precisamos calcular o determinante da matriz jacobiana dessa transformação para mudar as variáveis na integral. A matriz jacobiana é dada por:
Calculando as derivadas:
Então,
O determinante de J é:
det(J) = ( 12 times 12 ) - ( 12 times -12 ) = 14 + 14 = 12
Passo 5
Agora, vamos determinar os novos limites de integração em termos de u e v . Para isso, vamos transformar os vértices do paralelogramo:
Para (1,0):
u = 1 - 0 = 1 v = 1 + 0 = 1
Para (1,2):
u = 1 - 2 = -1 v = 1 + 2 = 3
Para (2,1):
u = 2 - 1 = 1 v = 2 + 1 = 3
Para (0,1):
u = 0 - 1 = -1 v = 0 + 1 = 1
Assim, os limites de u vão de -1 a 1 e os de v vão de 1 a 3.
Passo 6
Agora, vamos reescrever a função a ser integrada em termos de u e v . A função dada é 1 - x^2 - y^2 . Substituindo x e y :