Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado pede
que é uma integral dupla no 1º quadrante sobre a região
O conteúdo principal é troca para coordenadas polares
, em que
e
. Vamos então: (1) descrever
em coordenadas polares; (2) escrever a integral em
; (3) integrar em
e depois em
.
Passo 2
Determinamos as fronteiras de
em polares. A curva superior é
Como
, dividimos por
e isolamos
:
O eixo
é
. O numerador
muda de sinal em
, retornando
. Assim
Passo 3
Em coordenadas polares,
Logo a integral torna-se
Passo 4
Fazemos primeiro a integral em
:
onde
Logo
Passo 5
Para finalizar, usamos a substituição
.
Notamos que
Notamos que
e
. Fazendo todas as trocas, reduzimos
a uma integral em
de polinômio vezes
, que pode ser computada em termos de radicais e logaritmos. O resultado final é