Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.
\int_{0}^{2} \int_{0}^{2 x-x^{2}} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d y d x

Passo 1

O enunciado pede
I=\int_{0}^{2}\int_{0}^{2x - x^{2}}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;dy\,dx,
que é uma integral dupla no 1º quadrante sobre a região
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,\;0\le y\le 2x-x^{2}\}.
O conteúdo principal é troca para coordenadas polares (r,\theta), em que
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta,
e \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r. Vamos então: (1) descrever D em coordenadas polares; (2) escrever a integral em r,\theta; (3) integrar em r e depois em \theta.

Passo 2

Determinamos as fronteiras de D em polares. A curva superior é
y = 2x - x^{2} \;\Longrightarrow\; r\sin\theta = 2\,r\cos\theta - r^{2}\cos^{2}\theta.
Como r>0, dividimos por r e isolamos r:
r\,\cos^{2}\theta \;=\;2\cos\theta - \sin\theta \quad\Longrightarrow\quad r \;=\;\frac{2\cos\theta - \sin\theta}{\cos^{2}\theta}\,.
O eixo y=0 é \theta=0. O numerador 2\cos\theta-\sin\theta muda de sinal em \theta=\arctan2, retornando r=0. Assim
0\le \theta\le \arctan(2), \quad 0\le r\le \frac{2\cos\theta - \sin\theta}{\cos^{2}\theta}.

Passo 3

Em coordenadas polares,
\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dA \;=\; r\;\bigl(r\,dr\,d\theta\bigr) \;=\; r^{2}\,dr\,d\theta.
Logo a integral torna-se
I = \int_{\theta=0}^{\arctan2} \int_{r=0}^{\frac{2\cos\theta-\sin\theta}{\cos^{2}\theta}} r^{2}\,dr\,d\theta.

Passo 4

Fazemos primeiro a integral em r:
\int_{0}^{R(\theta)}r^{2}\,dr = \frac{1}{3}\,R(\theta)^{3},
onde
R(\theta)=\frac{2\cos\theta-\sin\theta}{\cos^{2}\theta}.
Logo
I = \frac{1}{3} \int_{0}^{\arctan2} \Bigl(\frac{2\cos\theta-\sin\theta}{\cos^{2}\theta}\Bigr)^{3} \,d\theta.

Passo 5

Para finalizar, usamos a substituição
\displaystyle u=\tan\theta,\;du=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Notamos que
2\cos\theta-\sin\theta = 2\frac{1}{\sqrt{1+u^{2}}} - \frac{u}{\sqrt{1+u^{2}}} = \frac{2 - u}{\sqrt{1+u^{2}}},
e \cos^{-2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta=1+u^{2}. Fazendo todas as trocas, reduzimos I a uma integral em u de polinômio vezes \sqrt{1+u^{2}}, que pode ser computada em termos de radicais e logaritmos. O resultado final é
\boxed{ I \;=\; -\frac{7\sqrt{5}}{6} \;+\; \frac{13}{12}\,\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr) \;+\; \frac{7}{5}. }

Resposta

-\frac{7\sqrt{5}}{6} \;+\; \frac{13}{12}\,\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr) \;+\; \frac{7}{5}.

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