Questão 22. Uma piscina circular tem diâmetro de 10 metros. A profundidade é constante ao longo das retas de leste para oeste e cresce linearmente de 1 metro na extremidade sul para 2 metros na extremidade norte. Encontre o volume da piscina. (Resp.:
.)
Passo 1
O enunciado descreve uma piscina com base circular de diâmetro
m (raio
m) cuja profundidade varia linearmente de
m na borda sul até
m na borda norte, sendo constante em cada reta leste–oeste. Para calcular o volume, vamos usar a ideia de volume como integral dupla da profundidade sobre a área da base.
Passo 2
Escolhemos coordenadas cartesianas de modo que o centro da piscina fique em
, a borda sul em
e a borda norte em
. Como a profundidade depende só de
e cresce de
para
em
m, montamos uma função afim
Passo 3
Escrevemos o volume
como
onde
é o disco de raio
,
. Substituindo
,
Passo 4
Separamos a integral em duas partes:
Aqui
é a área do disco,
. Por simetria em relação a
,
e
.
e
Passo 5
Substituindo esses resultados: