Questão 22. Uma piscina circular tem diâmetro de 10 metros. A profundidade é constante ao longo das retas de leste para oeste e cresce linearmente de 1 metro na extremidade sul para 2 metros na extremidade norte. Encontre o volume da piscina. (Resp.: 37,5 \pi \mathrm{~m}^{3}.)

Passo 1

O enunciado descreve uma piscina com base circular de diâmetro 10 m (raio 5 m) cuja profundidade varia linearmente de 1 m na borda sul até 2 m na borda norte, sendo constante em cada reta leste–oeste. Para calcular o volume, vamos usar a ideia de volume como integral dupla da profundidade sobre a área da base.

Passo 2

Escolhemos coordenadas cartesianas de modo que o centro da piscina fique em (0,0), a borda sul em y=-5 e a borda norte em y=5. Como a profundidade depende só de y e cresce de 1 para 2 em 10 m, montamos uma função afim
h(y)=1+\frac{y-(-5)}{10}=1+\frac{y+5}{10}.

Passo 3

Escrevemos o volume V como
V=\iint_{D}h(y)\,dA,
onde D é o disco de raio 5, D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le25\}. Substituindo h(y),
V=\iint_{D}\Bigl(1+\frac{y+5}{10}\Bigr)\,dA.

Passo 4

Separamos a integral em duas partes:
V=\iint_{D}1\,dA+\frac{1}{10}\iint_{D}(y+5)\,dA.
Aqui \iint_{D}1\,dA é a área do disco, A=\pi\cdot5^2=25\pi. Por simetria em relação a y=0,
\iint_{D}y\,dA=0
e
\iint_{D}5\,dA=5\iint_{D}1\,dA=5A.

Passo 5

Substituindo esses resultados:
V = A + \frac{1}{10}(0 + 5A)=A\Bigl(1+\frac{5}{10}\Bigr)=\frac{3}{2}A=\frac{3}{2}\cdot25\pi=37{,}5\pi.

Resposta

37{,}5\pi m ^3

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