Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.
\int_{0}^{1} \int_{y}^{\sqrt{2-y^{2}}}(x+y) d x d y\left(\right.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{y}^{\sqrt{2-y^{2}}}(x+y)\,dx\,dy
convertendo-a para coordenadas polares. Vamos precisar descrever a região de integração em termos de r e \theta, expressar x+y e o jacobiano, e depois integrar.

Passo 2

A região R em coordenadas cartesianas é
0 \le y \le 1,\quad y \le x \le \sqrt{2 - y^2}.
No primeiro quadrante, ela é limitada por:
  1. a reta y=0 (eixo x),
  2. a reta x=y,
  3. o círculo x^2+y^2=2.

Passo 3

Na mudança para coordenadas polares, usamos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta.
As fronteiras viram
  • y=0\implies \theta=0,
  • x=y\implies \cos\theta=\sin\theta\implies \theta=\tfrac{\pi}{4},
  • x^2+y^2=2\implies r=\sqrt{2}.
    Além disso, para 0\le\theta\le\tfrac{\pi}{4} e 0\le r\le\sqrt{2} tem-se sempre r\sin\theta\le\sqrt{2}\tfrac{1}{\sqrt{2}}=1, logo a condição y\le1 já está garantida.
    Portanto
0 \le \theta \le \frac{\pi}{4},\qquad 0 \le r \le \sqrt{2}.

Passo 4

Em polares, x+y = r\cos\theta + r\sin\theta = r(\cos\theta+\sin\theta). A integral fica
\int_{\theta=0}^{\pi/4}\!\int_{r=0}^{\sqrt{2}} \bigl[r(\cos\theta+\sin\theta)\bigr]\,r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{\pi/4}\!(\cos\theta+\sin\theta) \Bigl[\int_{0}^{\sqrt{2}}r^{2}\,dr\Bigr]\,d\theta.
Calculando a integral em r:
\int_{0}^{\sqrt{2}}r^{2}\,dr =\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{\sqrt{2}} =\frac{(\sqrt{2})^{3}}{3} =\frac{2\sqrt{2}}{3}.
Logo
\frac{2\sqrt{2}}{3}\, \int_{0}^{\pi/4}(\cos\theta+\sin\theta)\,d\theta =\frac{2\sqrt{2}}{3} \Bigl[\sin\theta - \cos\theta\Bigr]_{0}^{\pi/4} =\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot1 =\frac{2\sqrt{2}}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}

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