Utilize coordenadas polares para encontrar o volume do sólido dado.
Limitado pelo hiperboloide
e o plano
.
Limitado pelo hiperboloide
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado abaixo pelo hiperboloide de duas folhas
no ramo superior
e acima pelo plano
O conteúdo é cálculo de volume por meio de coordenadas cilíndricas (polars no plano
) e integração tripla.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas definimos
e o jacobiano vale
. No ramo superior do hiperboloide temos
Como
vai de
até
, impomos
e
percorre todo
a
.
Passo 3
O volume fica
Passo 4
Integramos primeiro em
:
Assim
Passo 5
Separamos a integral em
:
avaliado de
a
dá
Logo a integral em é
Logo a integral em
Passo 6
Finalmente integramos em
: