Calcule a integral iterada.
int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}} \int_{-5+x^{2}+y^{2}}^{3-x^{2}-y^{2}} x d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{2}\int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}}\int_{-5+x^{2}+y^{2}}^{3-x^{2}-y^{2}} x\,dz\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é x.
  • A ordem de integração é dz, depois dy, depois dx.
  • Limites:
    • x varia em [0,2].
    • Para cada x, y varia em \bigl[0,\sqrt{4-x^{2}}\bigr].
    • Para cada (x,y), z varia em \bigl[-5+x^{2}+y^{2},\,3-x^{2}-y^{2}\bigr].
      O que se pede: avaliar numericamente essa integral tripla.

Passo 2

Primeiro integramos em relação a z. Observação: a integranda x não depende de z, então a integral em z é x vezes a amplitude do intervalo em z. Assim,
\int_{-5+x^{2}+y^{2}}^{3-x^{2}-y^{2}} x\,dz = x\bigl(3-x^{2}-y^{2} -(-5+x^{2}+y^{2})\bigr).
Agora simplificamos a diferença dentro dos parênteses:
3-x^{2}-y^{2} -(-5+x^{2}+y^{2}) =3-x^{2}-y^{2}+5 -x^{2}-y^{2} =8 -2x^{2}-2y^{2}.
Portanto a integral sobre z
x\bigl(8 -2x^{2}-2y^{2}\bigr)=2x\bigl(4 - x^{2}-y^{2}\bigr).

Passo 3

Agora restou a integral dupla em x,y:
\int_{0}^{2}\int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}} 2x\bigl(4 - x^{2}-y^{2}\bigr)\,dy\,dx.
Vamos interpretar a região de integração no plano xy. Os limites 0\le x\le 2 e 0\le y\le \sqrt{4-x^{2}} descrevem o quarto de disco de raio 2 no primeiro quadrante:
R=\{(x,y): 0\le r\le 2,\\\ 0\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}\}
se usarmos coordenadas polares. Observação didática: escolher coordenadas polares é natural aqui porque aparece x^{2}+y^{2} e a região é circular — isso simplifica muito os cálculos.

Passo 4

Fazemos a mudança para coordenadas polares. Lembrando:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Substituindo x e x^{2}+y^{2}=r^{2} na integranda 2x(4 - x^{2}-y^{2}) e multiplicando pelo jacobiano r, obtemos a integranda polar:
2x(4-r^{2})\cdot r = 2(r\cos\theta)(4-r^{2})\cdot r = 2 r^{2}\cos\theta(4-r^{2}).
Os limites em polares são r\in[0,2] e \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}]. Portanto a integral torna-se
\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{2} 2 r^{2}\cos\theta(4-r^{2})\,dr\,d\theta.

Passo 5

A função é produto de uma parte que depende só de \theta e outra só de r, então separamos a integral:
\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta \;\cdot\; \int_{0}^{2} 2 r^{2}(4-r^{2})\,dr.
Calculemos primeiro a integral em \theta:
\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta = \bigl[\sin\theta\bigr]_{0}^{\pi/2} = 1.
Logo o valor total é exatamente a integral radial
\int_{0}^{2} 2 r^{2}(4-r^{2})\,dr.

Passo 6

Calculamos a integral em r passo a passo. Primeiro expandimos:
2 r^{2}(4-r^{2}) = 8 r^{2} - 2 r^{4}.
Agora integramos termo a termo:
\int_{0}^{2} (8 r^{2} - 2 r^{4})\,dr = 8\int_{0}^{2} r^{2}\,dr - 2\int_{0}^{2} r^{4}\,dr.
Usando \int r^{n}\,dr = \dfrac{r^{n+1}}{n+1}, obtemos
8\cdot\frac{r^{3}}{3}\Big|_{0}^{2} - 2\cdot\frac{r^{5}}{5}\Big|_{0}^{2} = 8\cdot\frac{8}{3} - 2\cdot\frac{32}{5}.
Simplificando:
8\cdot\frac{8}{3} = \frac{64}{3},\qquad 2\cdot\frac{32}{5}=\frac{64}{5}.
Então
\frac{64}{3}-\frac{64}{5}=64\Bigl(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\Bigr)=64\cdot\frac{2}{15}=\frac{128}{15}.

Passo 7

Portanto o valor da integral tripla original é \dfrac{128}{15}. Excelente — apesar do começo tenso, a estrutura da região e a presença de x^{2}+y^{2} pediam polar e isso simplificou tudo. Força aí que tá indo bem!

Resposta

\dfrac{128}{15}

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