( 1,5 ponto) Se a curva infinita y=e^{x}, x \leq 0 é girada em torno do eixo x, calcule o volume da superfície resultante.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva \,y=e^{x}\, para \,x\le 0, e diz que essa curva é girada em torno do eixo x. A tarefa é calcular o volume da figura sólida obtida por essa rotação. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é \,y=e^{x}\,.
  • O intervalo de x é \,(-\infty,0]\, (é um intervalo infinito à esquerda).
  • A rotação é em torno do eixo x.
    O que se pede: o volume do sólido gerado por essa rotação (isto é, do corpo obtido ao girar a região entre a curva e o eixo x para \,x\le 0).

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): usar o método dos discos (fatias transversais). Pense assim: ao girar a curva em torno do eixo x, para cada posição x temos um disco circular muito fino (espessura \,dx\,) cujo raio é a altura da curva naquele ponto, isto é \,r(x)=y(x). O volume aproximado desse disco é a área da base vezes a espessura:
dV \approx \text{(área do círculo)}\times dx = \pi \big(r(x)\big)^{2}\,dx.áí
Aqui:
  • \,dV\, é o volume do disco fino em torno de x.
  • \,r(x)=y(x)\,) é o raio do disco (distância da curva ao eixo \(x).
    Ao integrar essas fatias ao longo do intervalo de x obtemos o volume total:
V=\int \pi \big(y(x)\big)^{2}\,dx.
Esta fórmula é padrão e é obtida exatamente somando volumes de discos infinitesimais. Não pulei etapas: área do círculo é \pi r^{2}, r = y, multiplicamos por dx e somamos (integral).)

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: \,y(x)=e^{x}\,, portanto \,\big(y(x)\big)^{2}=(e^{x})^{2}=e^{2x}\,. O intervalo de integração é de -\infty até 0. Assim o volume é o integral impróprio
V=\pi\int_{-\infty}^{0} e^{2x}\,dx.

Passo 4

Tratar o integral impróprio como limite. Escrevemos
V=\pi\lim_{a\to -\infty}\int_{a}^{0} e^{2x}\,dx.
Precisamos encontrar a primitiva de e^{2x}. Uma forma rápida: a derivada de e^{2x} é 2e^{2x}, logo uma primitiva é \tfrac{1}{2}e^{2x}. Formalmente, por substituição u=2x obtém-se o mesmo resultado. Portanto
\int_{a}^{0} e^{2x}\,dx = \left[\tfrac{1}{2}e^{2x}\right]_{x=a}^{x=0} = \tfrac{1}{2}e^{0}-\tfrac{1}{2}e^{2a} = \tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}e^{2a}.

Passo 5

Agora aplicamos o limite quando a\to -\infty. Sabemos que \lim_{a\to -\infty} e^{2a}=0 porque a exponencial tende a zero para argumentos que vão a -\infty. Então
V=\pi\lim_{a\to -\infty}\left(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}e^{2a}\right)=\pi\left(\tfrac{1}{2}-0\right)=\tfrac{\pi}{2}.
Portanto o volume é finito e vale \tfrac{\pi}{2}.

Passo 6

Comentário intuitivo e motivador: pode parecer surpreendente que uma região que se estende até x=-\infty gere um volume finito ao ser rodada — isso acontece porque a função e^{x} decai muito rápido quando x\to -\infty. Guarda essa intuição: decaimentos exponenciais costumam produzir integrais convergentes. Ótimo trabalho em acompanhar passo a passo — você já tem a técnica essencial para muitos problemas de volumes de revolução!

Resposta

\dfrac{\pi}{2}

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