( 1,5 ponto) Se a curva infinita
é girada em torno do eixo
, calcule o volume da superfície resultante.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva
para
, e diz que essa curva é girada em torno do eixo
. A tarefa é calcular o volume da figura sólida obtida por essa rotação. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é
. - O intervalo de
é (é um intervalo infinito à esquerda). - A rotação é em torno do eixo
.
O que se pede: o volume do sólido gerado por essa rotação (isto é, do corpo obtido ao girar a região entre a curva e o eixopara ).
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): usar o método dos discos (fatias transversais). Pense assim: ao girar a curva em torno do eixo
, para cada posição
temos um disco circular muito fino (espessura
) cujo raio é a altura da curva naquele ponto, isto é
. O volume aproximado desse disco é a área da base vezes a espessura:
Aqui:
-
é o volume do disco fino em torno de . -
).
Ao integrar essas fatias ao longo do intervalo deobtemos o volume total:
Esta fórmula é padrão e é obtida exatamente somando volumes de discos infinitesimais. Não pulei etapas: área do círculo é
, r = y, multiplicamos por dx e somamos (integral).)
Passo 3
Aplicando ao nosso caso:
, portanto
. O intervalo de integração é de
até
. Assim o volume é o integral impróprio
Passo 4
Tratar o integral impróprio como limite. Escrevemos
Precisamos encontrar a primitiva de
. Uma forma rápida: a derivada de
é
, logo uma primitiva é
. Formalmente, por substituição
obtém-se o mesmo resultado. Portanto
Passo 5
Agora aplicamos o limite quando
. Sabemos que
porque a exponencial tende a zero para argumentos que vão a
. Então
Portanto o volume é finito e vale
.
Passo 6
Comentário intuitivo e motivador: pode parecer surpreendente que uma região que se estende até
gere um volume finito ao ser rodada — isso acontece porque a função
decai muito rápido quando
. Guarda essa intuição: decaimentos exponenciais costumam produzir integrais convergentes. Ótimo trabalho em acompanhar passo a passo — você já tem a técnica essencial para muitos problemas de volumes de revolução!