A variável de integração mais interna é z, com 0\le z\le 1.
A integração do meio é em y, com 0\le y\le \pi.
A integração externa é em x, com 1/3\le x\le 1/2.
O integrando é z\,x\,\sin(xy).
O objetivo é calcular esse número real. A integral é sobre um produto de intervalos, então podemos integrar na ordem dada: primeiro em z, depois em y e por fim em x.
Passo 2
Integrar em z (variável interna). Como x e y são tratados como constantes quando integramos em z, podemos tirar x\sin(xy) fora da integral em z. Assim
Vamos integrar em y a função \tfrac{x}{2}\sin(xy), tratando x como constante. Para integrar \sin(xy) em relação a y usamos que a derivada de \cos(xy) em relação a y é -x\sin(xy). Assim uma primitiva de \sin(xy) em y é -\dfrac{1}{x}\cos(xy). Portanto,
Calcule a primeira parte: a integral de \tfrac{1}{2} em [1/3,1/2] é \tfrac{1}{2}\cdot\big(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}\big). Como \tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{6}, essa parte vale
\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{12}.
Para a segunda parte, usamos que a primitiva de \cos(\pi x) é \tfrac{1}{\pi}\sin(\pi x). Assim