Calcule a integral iterada.
int_{1 / 3}^{1 / 2} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} z x \operatorname{sen} x y d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{1/3}^{1/2}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1} z\, x\, \sin(xy)\, dz\, dy\, dx.
Informações dadas:
  • A variável de integração mais interna é z, com 0\le z\le 1.
  • A integração do meio é em y, com 0\le y\le \pi.
  • A integração externa é em x, com 1/3\le x\le 1/2.
  • O integrando é z\,x\,\sin(xy).
O objetivo é calcular esse número real. A integral é sobre um produto de intervalos, então podemos integrar na ordem dada: primeiro em z, depois em y e por fim em x.

Passo 2

Integrar em z (variável interna). Como x e y são tratados como constantes quando integramos em z, podemos tirar x\sin(xy) fora da integral em z. Assim
\int_{0}^{1} z\,x\,\sin(xy)\,dz = x\,\sin(xy)\int_{0}^{1} z\,dz.
Agora calculamos \int_{0}^{1} z\,dz. A primitiva de z é \tfrac{1}{2}z^{2}, logo
\int_{0}^{1} z\,dz = \left.\tfrac{1}{2}z^{2}\right|_{0}^{1} = \tfrac{1}{2}.
Portanto a integração em z resulta em
x\,\sin(xy)\cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{x}{2}\,\sin(xy).

Passo 3

Agora a integral reduz-se a
\int_{1/3}^{1/2}\int_{0}^{\pi} \tfrac{x}{2}\,\sin(xy)\, dy\, dx.
Vamos integrar em y a função \tfrac{x}{2}\sin(xy), tratando x como constante. Para integrar \sin(xy) em relação a y usamos que a derivada de \cos(xy) em relação a y é -x\sin(xy). Assim uma primitiva de \sin(xy) em y é -\dfrac{1}{x}\cos(xy). Portanto,
\int_{0}^{\pi} \tfrac{x}{2}\sin(xy)\,dy = \tfrac{x}{2}\left(-\dfrac{1}{x}\cos(xy)\right)\Bigg|_{y=0}^{y=\pi}.
O fator x cancela, dando
\tfrac{x}{2}\cdot\left(-\dfrac{1}{x}\right)\big(\cos(x\pi)-\cos(0)\big) = -\tfrac{1}{2}\big(\cos(\pi x)-\cos(0)\big).

Passo 4

Simplificar o resultado da integração em y. Como \cos(0)=1, obtemos
-\tfrac{1}{2}\big(\cos(\pi x)-1\big) = \tfrac{1}{2}\big(1-\cos(\pi x)\big).
Logo a integral tripla passou a ser uma integral simples em x:
\int_{1/3}^{1/2} \tfrac{1}{2}\big(1-\cos(\pi x)\big)\,dx.

Passo 5

Separar e calcular as duas integrais em x:
\int_{1/3}^{1/2} \tfrac{1}{2}\,dx \;-\; \int_{1/3}^{1/2} \tfrac{1}{2}\cos(\pi x)\,dx.
Calcule a primeira parte: a integral de \tfrac{1}{2} em [1/3,1/2] é \tfrac{1}{2}\cdot\big(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}\big). Como \tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{6}, essa parte vale
\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{12}.
Para a segunda parte, usamos que a primitiva de \cos(\pi x) é \tfrac{1}{\pi}\sin(\pi x). Assim
\int_{1/3}^{1/2} \tfrac{1}{2}\cos(\pi x)\,dx = \tfrac{1}{2}\cdot \frac{1}{\pi}\sin(\pi x)\Big|_{1/3}^{1/2} = \tfrac{1}{2\pi}\big(\sin(\tfrac{\pi}{2})-\sin(\tfrac{\pi}{3})\big).
Sabendo \sin(\tfrac{\pi}{2})=1 e \sin(\tfrac{\pi}{3})=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, obtemos
\tfrac{1}{2\pi}\left(1-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right).

Passo 6

Juntando as duas partes (primeira menos segunda), a integral total vale
\tfrac{1}{12} - \tfrac{1}{2\pi}\left(1-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right).
Podemos expandir para uma forma mais direta:
\tfrac{1}{12} - \tfrac{1}{2\pi} + \tfrac{\sqrt{3}}{4\pi}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{12}-\frac{1}{2\pi}+\frac{\sqrt{3}}{4\pi}

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