Calcule a integral iterada:
\int_{0}^{2} \int_{0}^{4} y^{3} e^{2 x} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{2}\int_{0}^{4}y^{3}e^{2x}\,dy\,dx.
O conteúdo principal aqui é aplicar o Teorema de Fubini ou usar que a função é separável em x e y, ou seja, podemos escrever o integrando como produto de uma parte que depende só de y e outra que depende só de x.

Passo 2

Como y^{3}e^{2x}=e^{2x}\cdot y^{3}, podemos reescrever
\int_{0}^{2}\int_{0}^{4}y^{3}e^{2x}\,dy\,dx =\int_{0}^{2}e^{2x}\Bigl(\int_{0}^{4}y^{3}\,dy\Bigr)dx.

Passo 3

Calculemos primeiro a integral em y:
\int_{0}^{4}y^{3}\,dy =\frac{y^{4}}{4}\Big|_{0}^{4} =\frac{4^{4}}{4}-0 =64.

Passo 4

Substituindo esse resultado de volta, fica
\int_{0}^{2}\int_{0}^{4}y^{3}e^{2x}\,dy\,dx =\int_{0}^{2}64\,e^{2x}\,dx =64\int_{0}^{2}e^{2x}\,dx.

Passo 5

Agora integramos em x:
\int_{0}^{2}e^{2x}\,dx =\frac{e^{2x}}{2}\Big|_{0}^{2} =\frac{e^{4}-1}{2}.

Passo 6

Multiplicando por 64, obtemos
64\cdot\frac{e^{4}-1}{2} =32\bigl(e^{4}-1\bigr).

Resposta

\displaystyle 32\bigl(e^{4}-1\bigr)

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