Calcule a integral iterada:
\int_{1}^{4} \int_{0}^{2}\left(6 x^{2} y-2 x\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{1}^{4}\int_{0}^{2}\bigl(6x^{2}y - 2x\bigr)\,dy\,dx.
O conteúdo aqui é integração dupla via cálculo iterado: primeiro integramos em y mantendo x fixo, depois em x.

Passo 2

Integramos em y:
\int_{0}^{2}\bigl(6x^{2}y - 2x\bigr)\,dy =6x^{2}\int_{0}^{2}y\,dy \;-\;2x\int_{0}^{2}1\,dy.
Como \displaystyle\int_{0}^{2}y\,dy=\bigl[y^{2}/2\bigr]_{0}^{2}=2 e \displaystyle\int_{0}^{2}1\,dy=2, temos
6x^{2}\cdot2 \;-\;2x\cdot2 =12x^{2}-4x.

Passo 3

Agora integramos em x:
\int_{1}^{4}\bigl(12x^{2}-4x\bigr)\,dx =12\int_{1}^{4}x^{2}\,dx \;-\;4\int_{1}^{4}x\,dx.
Calculando as antiderivadas,
\int_{1}^{4}x^{2}\,dx=\bigl[x^{3}/3\bigr]_{1}^{4}=\frac{64-1}{3}=\frac{63}{3}=21, \quad \int_{1}^{4}x\,dx=\bigl[x^{2}/2\bigr]_{1}^{4}=\frac{16-1}{2}=\frac{15}{2}.
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12\cdot21 \;-\;4\cdot\frac{15}{2} =252 \;-\;30 =222.

Resposta

222

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