(Simon & Blume - Exercício 18.6) Encontre o máximo e o mínimo de
sujeito a
e
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos de
sujeito às restrições
Isso é um problema de otimização com restrição, e podemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange ou, antes, eliminar a variável
para reduzir a dimensão.
Passo 2
Como a restrição
deve valer, podemos substituir diretamente em
e na esfera. Definimos a função reduzida
com a restrição
Agora é um problema de otimização em duas variáveis com uma única restrição.
Passo 3
Aplicamos o método de Lagrange: definimos a função de Lagrange
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Passo 5
Das equações obtemos:
– De segue
, logo ou
ou
.
– De
- Se
, então da restrição vem , ou seja . - Se
, então de obtemos , isto é , e da restrição , logo .
Passo 6
Agora avaliamos
nos pontos críticos:
– Em :
– Em
– Em
:
– Em
:
Comparando, o maior valor é
e o menor é
.
Resposta
Máximo global
nos pontos
.
Mínimo global no ponto
.
Mínimo global