Calcule a integral iterada.
.
Passo 1
O enunciado fornece a integral iterada
O que é pedido: calcular o valor numérico dessa integral definida. Informações relevantes:
- A variável de integração interna é
, com variando de a . - A variável de integração externa é
, com variando de a . - Para a integral interna,
deve ser tratada como constante (note que nunca é no intervalo considerado).
Passo 2
Vamos calcular primeiro a integral interna em
:
Regra útil (e simples de justificar): para constante
,
porque ao derivar
obtém-se
(regra da cadeia). Aqui, no integrando
, o coeficiente de
é
que é constante quando integramos em
(já que
é tratado como parâmetro).
Passo 3
Aplicando a fórmula com
:
Agora avaliamos entre
e
:
Passo 4
Simplificando os expoentes:
Portanto a integral interna fica
Passo 5
Agora calculamos a integral externa em
:
pois
é constante em relação a
.
Passo 6
Usamos a regra do poder para integrais:
Logo a integral definida é
Passo 7
Multiplicando pelo fator
que ficou fora: