Calcule a integral iterada.
\int_{1}^{2} \int_{0}^{y^{2}} e^{x / y^{2}} d x d y.

Passo 1

O enunciado fornece a integral iterada
\int_{1}^{2}\int_{0}^{y^{2}} e^{x / y^{2}}\,dx\,dy
O que é pedido: calcular o valor numérico dessa integral definida. Informações relevantes:
  • A variável de integração interna é x, com x variando de 0 a y^{2}.
  • A variável de integração externa é y, com y variando de 1 a 2.
  • Para a integral interna, y deve ser tratada como constante (note que y nunca é 0 no intervalo considerado).

Passo 2

Vamos calcular primeiro a integral interna em x:
\int_{0}^{y^{2}} e^{x / y^{2}}\,dx.
Regra útil (e simples de justificar): para constante a\neq0,
\int e^{a x}\,dx = \frac{1}{a} e^{a x} + C,
porque ao derivar \frac{1}{a} e^{a x} obtém-se e^{a x} (regra da cadeia). Aqui, no integrando e^{x/y^{2}}, o coeficiente de x é
a=\frac{1}{y^{2}},
que é constante quando integramos em x (já que y é tratado como parâmetro).

Passo 3

Aplicando a fórmula com a=1/y^{2}:
\int e^{x / y^{2}}\,dx = \frac{1}{(1/y^{2})}\,e^{x / y^{2}} + C = y^{2}\,e^{x / y^{2}} + C.
Agora avaliamos entre x=0 e x=y^{2}:
\int_{0}^{y^{2}} e^{x / y^{2}}\,dx = \left[y^{2}\,e^{x / y^{2}}\right]_{x=0}^{x=y^{2}} = y^{2}\left(e^{y^{2}/y^{2}} - e^{0}\right).

Passo 4

Simplificando os expoentes:
e^{y^{2}/y^{2}} = e^{1} = e, \qquad e^{0}=1.
Portanto a integral interna fica
\int_{0}^{y^{2}} e^{x / y^{2}}\,dx = y^{2}(e-1).

Passo 5

Agora calculamos a integral externa em y:
\int_{1}^{2} y^{2}(e-1)\,dy = (e-1)\int_{1}^{2} y^{2}\,dy,
pois (e-1) é constante em relação a y.

Passo 6

Usamos a regra do poder para integrais:
\int y^{2}\,dy = \frac{y^{3}}{3} + C.
Logo a integral definida é
\int_{1}^{2} y^{2}\,dy = \left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{1}^{2} = \frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3} = \frac{8-1}{3} = \frac{7}{3}.

Passo 7

Multiplicando pelo fator (e-1) que ficou fora:
\int_{1}^{2}\int_{0}^{y^{2}} e^{x / y^{2}}\,dx\,dy = (e-1)\cdot\frac{7}{3} = \frac{7}{3}(e-1).

Resposta

\dfrac{7}{3}(e-1)

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