Exercício 3 (24 pontos)
Calcule os limites
\lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\tan (4 \theta)}{\theta} (10 pontos).

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando \theta tende a zero:
\lim_{\theta \to 0} \frac{\tan(4\theta)}{\theta}.
Informações dadas:
  • A variável que tende a zero é \theta.
  • A expressão é \dfrac{\tan(4\theta)}{\theta}.
  • Não há outras condições ou parâmetros no enunciado.

Passo 2

Vamos recordar um limite fundamental que vai ser usado aqui e prová-lo de maneira direta e elementar: o limite
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.
Prova (caso 0<x<\tfrac{\pi}{2}, isto é, aproximação pela direita; o caso da esquerda segue por simetria):
  • Na unidade trigonométrica, comparar áreas do triângulo inscrito, do setor circular e do triângulo circunscrito leva à desigualdade
\sin x < x < \tan x.
  • Dividindo a desigualdade pelo positivo x e rearranjando, obtemos
\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1.
  • Como \lim_{x\to 0}\cos x = 1, pelo Teorema do Confronto (squeeze) segue
\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.
Observação: essa prova usa apenas desigualdades geométricas elementares e o fato da continuidade de \cos x em 0.

Passo 3

A partir de \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1 podemos obter o limite para a tangente. Escrevemos \tan x em função de seno e cosseno:
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}.
Portanto
\frac{\tan x}{x} = \frac{\sin x}{x}\cdot \frac{1}{\cos x}.
Tomando limite quando x\to 0 e usando que \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1 e \lim_{x\to 0}\cos x=1, obtemos
\lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{x} = 1\cdot \frac{1}{1} = 1.
Observação didática: é importante notar que \cos x não se anula perto de 0, então a divisão por \cos x é válida na vizinhança de 0.

Passo 4

Agora aplicamos isso ao nosso limite com fator 4. Faça a substituição direta de fator:
\frac{\tan(4\theta)}{\theta} = 4\cdot \frac{\tan(4\theta)}{4\theta}.
Isto é apenas uma álgebra simples (multiplicar e dividir por 4). Assim
\lim_{\theta\to 0} \frac{\tan(4\theta)}{\theta} = 4\cdot \lim_{\theta\to 0} \frac{\tan(4\theta)}{4\theta}.

Passo 5

No limite da direita, faça a mudança de variável x=4\theta. Quando \theta\to 0 então x\to 0, e pelo resultado do Passo 3 temos
\lim_{\theta\to 0} \frac{\tan(4\theta)}{4\theta} = \lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{x} = 1.
Portanto
\lim_{\theta\to 0} \frac{\tan(4\theta)}{\theta} = 4\cdot 1 = 4.

Passo 6

Dica para a prova: sempre que tiver \tan(a\theta)/\theta com \theta\to 0, você pode escrever como a\cdot [\tan(a\theta)/(a\theta)] e usar que \tan u / u \to 1 quando u\to 0. É rápido e seguro — cuidado só com fatores que possam anular o denominador (aqui não ocorre).

Resposta

4

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