Exercício 3 (24 pontos)
Calcule os limites
(10 pontos).
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende a zero:
Informações dadas:
- A variável que tende a zero é
. - A expressão é
. - Não há outras condições ou parâmetros no enunciado.
Passo 2
Vamos recordar um limite fundamental que vai ser usado aqui e prová-lo de maneira direta e elementar: o limite
Prova (caso
, isto é, aproximação pela direita; o caso da esquerda segue por simetria):
- Na unidade trigonométrica, comparar áreas do triângulo inscrito, do setor circular e do triângulo circunscrito leva à desigualdade
- Dividindo a desigualdade pelo positivo
e rearranjando, obtemos
- Como
, pelo Teorema do Confronto (squeeze) segue
Observação: essa prova usa apenas desigualdades geométricas elementares e o fato da continuidade de
em 0.
Passo 3
A partir de
podemos obter o limite para a tangente. Escrevemos
em função de seno e cosseno:
Portanto
Tomando limite quando
e usando que
e
, obtemos
Observação didática: é importante notar que
não se anula perto de
, então a divisão por
é válida na vizinhança de
.
Passo 4
Agora aplicamos isso ao nosso limite com fator
. Faça a substituição direta de fator:
Isto é apenas uma álgebra simples (multiplicar e dividir por
). Assim
Passo 5
No limite da direita, faça a mudança de variável
. Quando
então
, e pelo resultado do Passo 3 temos
Portanto
Passo 6
Dica para a prova: sempre que tiver
com
, você pode escrever como
e usar que
quando
. É rápido e seguro — cuidado só com fatores que possam anular o denominador (aqui não ocorre).
Resposta
4