Exercício 2 (20 pontos)
Calcule a derivada da função sen(4x) (6 pontos). Seja
uma funçāo diferenciável tal que
. Defina
Calcule
(10 pontos). Quanto vale
(4 pontos)?
Calcule a derivada da função sen(4x) (6 pontos). Seja
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente o que está pedido e as informações fornecidas):
- Calcular a derivada de
. - Foi dada uma função diferenciável
com os valores e .\ - Define-se
- Pede-se calcular
. - Pede-se calcular o valor numérico
.
Esses são os três resultados que vamos obter: a derivada de
, a fórmula de
e o valor de
.
Passo 2
Derivada de
— ideia e aplicação da regra da cadeia (explicação didática).
- Regra da cadeia (no caso simples): se
, então
Aqui a função externa é
e a função interna é
.
-
Calculando
: como , temos . -
Aplicando a regra da cadeia:
Portanto, organizando de forma usual:
Observação prática (para a prova): sempre identifique a “parte externa” (
) e a “parte interna” (
), derive cada uma e multiplique.
Passo 3
Preparando para derivar
— regra da cadeia em várias camadas e derivada da raiz quadrada.
- Regra geral da cadeia (versão explicada): se
então
Para composições com mais de duas camadas, aplica-se repetidamente.
- Derivada da raiz quadrada: se
, então
Aqui
é assumido para a raiz estar bem definida (o enunciado indica
diferenciável e usamos os valores fornecidos).
Passo 4
Aplicação direta da cadeia em três camadas a
.
- Identificar as camadas:
- camada externa:
, - camada intermédia:
, - camada interna:
.
- camada externa:
Assim
- Derivada por partes (usando a cadeia repetida):
-
Calcular cada derivada:
-
, então -
, então -
tem derivada já calculada parcialmente: (veja Passo 2).
-
-
Multiplicando tudo:
- Simplificando o fator numérico
com :
Esse é o resultado geral para
. Na prova: escreva calmamente cada camada, derive e multiplique — evita erros.
Passo 5
Cálculo de
usando
e
.
- Primeiro avalie o argumento interno em
:
- Substitua na expressão de
:
- Use os dados
e , e :
Portanto o valor numérico pedido é
.