Exercício 2 (20 pontos)
Calcule a derivada da função sen(4x) (6 pontos). Seja f uma funçāo diferenciável tal que f(1)= f^{\prime}(1)=1. Defina
g(x)=\sqrt{f(1+\operatorname{sen}(4 x))}
Calcule g^{\prime}(x) (10 pontos). Quanto vale g^{\prime}(0) (4 pontos)?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente o que está pedido e as informações fornecidas):
  • Calcular a derivada de \operatorname{sen}(4x).
  • Foi dada uma função diferenciável f com os valores \;f(1)=1\; e \;f^{\prime}(1)=1.\
  • Define-se
g(x)=\sqrt{f(1+\operatorname{sen}(4x))}.
  • Pede-se calcular g^{\prime}(x).
  • Pede-se calcular o valor numérico g^{\prime}(0).
Esses são os três resultados que vamos obter: a derivada de \operatorname{sen}(4x), a fórmula de g^{\prime}(x) e o valor de g^{\prime}(0).

Passo 2

Derivada de \operatorname{sen}(4x) — ideia e aplicação da regra da cadeia (explicação didática).
  • Regra da cadeia (no caso simples): se h(x)=\operatorname{sen}(u(x)), então
h'(x)=\cos(u(x))\cdot u'(x).
Aqui a função externa é \operatorname{sen}(\cdot) e a função interna é u(x)=4x.
  • Calculando u'(x): como u(x)=4x, temos u'(x)=4.
  • Aplicando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}(4x)\big)=\cos(4x)\cdot 4.
Portanto, organizando de forma usual:
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}(4x)\big)=4\cos(4x).
Observação prática (para a prova): sempre identifique a “parte externa” ( \operatorname{sen}) e a “parte interna” ( 4x), derive cada uma e multiplique.

Passo 3

Preparando para derivar g(x)=\sqrt{f(1+\operatorname{sen}(4x))} — regra da cadeia em várias camadas e derivada da raiz quadrada.
  • Regra geral da cadeia (versão explicada): se H(x)=F(G(x)) então
H'(x)=F'(G(x))\cdot G'(x).
Para composições com mais de duas camadas, aplica-se repetidamente.
  • Derivada da raiz quadrada: se F(t)=\sqrt{t}=t^{1/2}, então
F'(t)=\frac{1}{2}t^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{t}}.
Aqui t>0 é assumido para a raiz estar bem definida (o enunciado indica f diferenciável e usamos os valores fornecidos).

Passo 4

Aplicação direta da cadeia em três camadas a g(x).
  • Identificar as camadas:
    • camada externa: F(t)=\sqrt{t},
    • camada intermédia: H(s)=f(s),
    • camada interna: k(x)=1+\operatorname{sen}(4x).
Assim
g(x)=F\big(H(k(x))\big).
  • Derivada por partes (usando a cadeia repetida):
g'(x)=F'\big(H(k(x))\big)\cdot H'\big(k(x)\big)\cdot k'(x).
  • Calcular cada derivada:
    • F'(t)=\dfrac{1}{2\sqrt{t}}, então F'\big(H(k(x))\big)=\frac{1}{2\sqrt{f(1+\operatorname{sen}(4x))}}.
    • H'(s)=f'(s), então H'\big(k(x)\big)=f'\big(1+\operatorname{sen}(4x)\big).
    • k(x)=1+\operatorname{sen}(4x) tem derivada já calculada parcialmente: k'(x)=\dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}(4x)=4\cos(4x) (veja Passo 2).
  • Multiplicando tudo:
g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{f(1+\operatorname{sen}(4x))}}\cdot f'\big(1+\operatorname{sen}(4x)\big)\cdot 4\cos(4x).
  • Simplificando o fator numérico 4 com \tfrac{1}{2}:
g'(x)=\frac{2\cos(4x)\,f'\big(1+\operatorname{sen}(4x)\big)}{\sqrt{f(1+\operatorname{sen}(4x))}}.
Esse é o resultado geral para g'(x). Na prova: escreva calmamente cada camada, derive e multiplique — evita erros.

Passo 5

Cálculo de g^{\prime}(0) usando \;f(1)=1\; e \;f^{\prime}(1)=1.
  • Primeiro avalie o argumento interno em x=0:
1+\operatorname{sen}(4\cdot 0)=1+\operatorname{sen}(0)=1+0=1.
  • Substitua na expressão de g'(x):
g'(0)=\frac{2\cos(4\cdot 0)\,f'(1)}{\sqrt{f(1)}}.
  • Use os dados \;f(1)=1\; e \;f'(1)=1\;, e \cos(0)=1:
g'(0)=\frac{2\cdot 1\cdot 1}{\sqrt{1}}=\frac{2}{1}=2.
Portanto o valor numérico pedido é \;g'(0)=2.

Resposta

\dfrac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}(4x)\big)=4\cos(4x)
g'(x)=\frac{2\cos(4x)\,f'\big(1+\operatorname{sen}(4x)\big)}{\sqrt{f(1+\operatorname{sen}(4x))}}
\;g'(0)=2

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