calcule a integral iterada integral1^4 integral-1^2(x^2-y^2) d y d x

Passo 1

Temos que calcular a integral iterada integral1^4integral-1^2(x^2-y^2),dy,dx. É um problema de integrais iteradas: primeiro integramos em relação a y e depois em relação a x.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a y. Podemos separar a integral interna:
integral-1^2(x^2-y^2),dy = integral-1^2x^2,dy - integral-1^2y^2,dy
Como x^2 é constante em y,
integral-1^2x^2,dy = x^2,(2 - (-1)) = 3x^2

Passo 3

Agora, para integral-1^2y^2,dy, usamos a antiderivada y^33. Avaliando de -1 a 2:
[y^33]-1^2 = 83 - (-13) = 83 + 13 = 3

Passo 4

Substituindo na integral interna, temos
integral-1^2(x^2-y^2),dy = 3x^2 - 3

Passo 5

Em seguida, integramos em relação a x:
integral1^4(3x^2-3),dx = 3integral1^4x^2,dx - 3integral1^41,dx
A antiderivada de x^2 é x^33 e de 1 é x, então
3[x^33]1^4 - 3[x]1^4

Passo 6

Avaliando os limites, obtemos
3(64 - 13) - 3(4 - 1) = 63 - 9 = 54

Resposta

54

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