Exercício 4 Seja
uma função.
Supondo que
, calcule
.
Supondo que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre limites de funções. Precisamos encontrar o limite de $ \frac{f(x)}{x} $ quando $ x $ se aproxima de $ a $, sabendo que $ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{x^{2025}} = 1 $. Para isso, vamos precisar entender como trabalhar com limites e manipular expressões algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a informação que temos: $ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{x^{2025}} = 1 $. Isso significa que, perto de $ x = a $, a função $ f(x) $ se comporta aproximadamente como $ x^{2025} $.
Matematicamente, podemos escrever:
Passo 3
Queremos encontrar $ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{x} $. Vamos substituir $ f(x) $ pela expressão que encontramos:
Passo 4
Simplificando a expressão $ \frac{x^{2025}}{x} $, temos que subtrair os expoentes de $ x $:
Passo 5
Agora, precisamos calcular o limite de $ x^{2024} $ quando $ x $ se aproxima de $ a $:
Como a função potência é contínua, podemos substituir diretamente $ x $ por $ a $: