Exercício 4 Seja f: R R uma função.
Supondo que lim x a f(x)x^2025=1, calcule lim x a f(x)x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre limites de funções. Precisamos encontrar o limite de $ \frac{f(x)}{x} $ quando $ x $ se aproxima de $ a $, sabendo que $ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{x^{2025}} = 1 $. Para isso, vamos precisar entender como trabalhar com limites e manipular expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a informação que temos: $ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{x^{2025}} = 1 $. Isso significa que, perto de $ x = a $, a função $ f(x) $ se comporta aproximadamente como $ x^{2025} $.
Matematicamente, podemos escrever:
limx to a f(x)x^2025 = 1

Passo 3

Queremos encontrar $ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{x} $. Vamos substituir $ f(x) $ pela expressão que encontramos:
limx to a f(x)x

Passo 4

Simplificando a expressão $ \frac{x^{2025}}{x} $, temos que subtrair os expoentes de $ x $:
x^2025x

Passo 5

Agora, precisamos calcular o limite de $ x^{2024} $ quando $ x $ se aproxima de $ a $:
x^2024
Como a função potência é contínua, podemos substituir diretamente $ x $ por $ a $:
x

Resposta

limx to a f(x)x = a^2024

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