Considere a função
A função
é continua em 1? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se a função $ f(x) $ é contínua em $ x = 1 $. Para resolver isso, vamos trabalhar com o conceito de continuidade de funções. Precisamos verificar três coisas:
- O valor da função em $ x = 1 $.
- O limite da função quando $ x $ se aproxima de 1.
- Se o limite é igual ao valor da função em 1.
Vamos verificar cada uma dessas partes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor da função quando $ x = 1 $. Olhando para a definição de $ f(x) $:
Então, o valor da função em 1 é 3.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1. Para $ x \neq 1 $, a função é:
Precisamos simplificar essa expressão. Vamos fatorar o numerador:
Então, a função fica:
Podemos cancelar $ x - 1 $ no numerador e denominador:
Passo 4
Agora que simplificamos, o limite quando $ x $ se aproxima de 1 é:
Passo 5
Finalmente, comparamos o limite com o valor da função em 1:
Resposta
Como o limite quando $ x $ se aproxima de 1 é diferente do valor da função em 1, a função $ f $ não é contínua em $ x = 1 $.