Calcule a integral.
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Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações dadas:
- A função a integrar é o produto de
por . - Não há limites: trata-se de uma primitiva (antiderivada) indefinida, então a resposta deve incluir a constante de integração
.
Passo 2
Observação sobre a forma do integrando (por que isso ajuda): dentro da raiz aparece a expressão
. A derivada dessa expressão em relação a
é
, que é proporcional ao fator
presente no integrando. Sempre que temos algo como
a substituição
costuma simplificar muito. Vou usar essa ideia aqui.
Explicando a técnica de substituição de forma curta e clara: se fizermos a troca de variável
, então
. Isso permite reescrever a integral em termos de
em vez de
, frequentemente transformando uma raiz ou potência complicada em uma potência simples.
Passo 3
Escolha da substituição: defino
Calculo
em função de
:
Desse modo podemos isolar
:
Passo 4
Faço a substituição na integral. Como
e
, temos
Passo 5
Integro a potência
usando a regra da potência para integrais: para
,
Aqui
, então
Passo 6
Multiplico pela constante que estava fora:
Volto à variável original substituindo
:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Verificação rápida por derivação (confere que está certo): calcular a derivada de
.
que é exatamente o integrando. Logo a primitiva encontrada está correta.