Calcule a integral.
l)
\int u \sqrt{1-u^{2}} d u

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int u \sqrt{1-u^{2}}\,du.
Informações dadas:
  • A função a integrar é o produto de u por \sqrt{1-u^{2}}.
  • Não há limites: trata-se de uma primitiva (antiderivada) indefinida, então a resposta deve incluir a constante de integração C.

Passo 2

Observação sobre a forma do integrando (por que isso ajuda): dentro da raiz aparece a expressão \,1-u^{2}\,. A derivada dessa expressão em relação a u é \dfrac{d}{du}(1-u^{2})=-2u, que é proporcional ao fator u\,du presente no integrando. Sempre que temos algo como f(g(u))\cdot g'(u) a substituição t=g(u) costuma simplificar muito. Vou usar essa ideia aqui.
Explicando a técnica de substituição de forma curta e clara: se fizermos a troca de variável v=g(u), então dv=g'(u)\,du. Isso permite reescrever a integral em termos de v em vez de u, frequentemente transformando uma raiz ou potência complicada em uma potência simples.

Passo 3

Escolha da substituição: defino
v = 1 - u^{2}.
Calculo dv em função de du:
dv = \dfrac{d}{du}(1-u^{2})\,du = -2u\,du.
Desse modo podemos isolar u\,du:
u\,du = -\dfrac{1}{2}\,dv.

Passo 4

Faço a substituição na integral. Como \sqrt{1-u^{2}}=\sqrt{v}=v^{1/2} e u\,du=-\tfrac{1}{2}dv, temos
\int u \sqrt{1-u^{2}}\,du = \int v^{1/2}\left(-\tfrac{1}{2}\,dv\right) = -\tfrac{1}{2}\int v^{1/2}\,dv.

Passo 5

Integro a potência v^{1/2} usando a regra da potência para integrais: para n\neq -1,
\int v^{n}\,dv = \frac{v^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}, então
\int v^{1/2}\,dv = \frac{v^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}v^{3/2}.

Passo 6

Multiplico pela constante que estava fora:
-\tfrac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}v^{3/2} = -\tfrac{1}{3}v^{3/2}.
Volto à variável original substituindo v=1-u^{2}:
\int u \sqrt{1-u^{2}}\,du = -\tfrac{1}{3}\bigl(1-u^{2}\bigr)^{3/2} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Verificação rápida por derivação (confere que está certo): calcular a derivada de -\tfrac{1}{3}(1-u^{2})^{3/2}.
\dfrac{d}{du}\!\left[-\tfrac{1}{3}\bigl(1-u^{2}\bigr)^{3/2}\right] = -\tfrac{1}{3}\cdot \tfrac{3}{2}\bigl(1-u^{2}\bigr)^{1/2}\cdot(-2u) = u\bigl(1-u^{2}\bigr)^{1/2},
que é exatamente o integrando. Logo a primitiva encontrada está correta.

Resposta

-\tfrac{1}{3}\bigl(1-u^{2}\bigr)^{3/2}+C

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