Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções:
a) f(x)=3 x-9

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a primitiva mais geral da função f(x)=3x-9.
Informações dadas: a função f é f(x)=3x-9. A tarefa é achar toda a família de funções F(x) tal que F'(x)=f(x).

Passo 2

O que é primitiva (ou antiderivada)?
Uma função F é primitiva de f se vale
\frac{d}{dx}F(x)=f(x).
As primitivas estão definidas “até uma constante”: se F é primitiva de f, então F+C também é primitiva para qualquer constante C\in\mathbb{R}. Por isso dizemos “primitiva mais geral” e incluímos a constante de integração C.

Passo 3

Propriedade útil: linearidade da operação de primitivação (integração). Isso significa que, para constantes a,b e funções g,h,
\int (a g(x)+ b h(x))\,dx = a\int g(x)\,dx + b\int h(x)\,dx.
Vamos aplicar essa propriedade para integrar f(x)=3x-9 termo a termo.

Passo 4

Regra de potência (ferramenta principal): para todo n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui a variável x é a variável independente; n é o expoente. No nosso caso precisamos da integral de x (que é x^{1}), então com n=1 obtemos
\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C.

Passo 5

Agora integramos cada termo usando linearidade e a regra de potência.
Primeiro termo:
\int 3x\,dx = 3\int x\,dx = 3\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{3}{2}x^{2}.
Segundo termo:
\int (-9)\,dx = -9\int 1\,dx = -9x.
(Saber que \int 1\,dx = x porque a derivada de x é 1.)

Passo 6

Somando as primitivas dos termos e adicionando a constante de integração C, a primitiva mais geral é
F(x)=\frac{3}{2}x^{2}-9x+C.

Passo 7

Verificação rápida (para ficar mais seguro na prova): derivar F e checar se volta a f.
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{3}{2}x^{2}-9x+C\right)=\frac{3}{2}\cdot 2x -9 + 0 = 3x-9,
que é exatamente f(x). Perfeito!

Resposta

\frac{3}{2}x^{2}-9x+C

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