Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções:
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a primitiva mais geral da função
.
Informações dadas: a função é
. A tarefa é achar toda a família de funções
tal que
.
Informações dadas: a função
Passo 2
O que é primitiva (ou antiderivada)?
Uma função é primitiva de
se vale
Uma função
As primitivas estão definidas “até uma constante”: se
é primitiva de
, então
também é primitiva para qualquer constante
. Por isso dizemos “primitiva mais geral” e incluímos a constante de integração
.
Passo 3
Propriedade útil: linearidade da operação de primitivação (integração). Isso significa que, para constantes
e funções
,
Vamos aplicar essa propriedade para integrar
termo a termo.
Passo 4
Regra de potência (ferramenta principal): para todo
,
Aqui a variável
é a variável independente;
é o expoente. No nosso caso precisamos da integral de
(que é
), então com
obtemos
Passo 5
Agora integramos cada termo usando linearidade e a regra de potência.
Primeiro termo:
Segundo termo:
(Saber que
porque a derivada de
é
.)
Passo 6
Somando as primitivas dos termos e adicionando a constante de integração
, a primitiva mais geral é
Passo 7
Verificação rápida (para ficar mais seguro na prova): derivar
e checar se volta a
.
que é exatamente
. Perfeito!