Calcule a integral.
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Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função a ser integrada é
. É uma integral de uma potência de uma expressão linear em
. O resultado deve ser uma primitiva (antiderivada) mais uma constante de integração
.
Passo 2
Ideia do método (explicação bem didática): quando se tem uma integral de uma função composta do tipo
, é muito prático usar a substituição (também chamada de método da substituição ou mudança de variável). A substituição serve para transformar a integral numa forma mais simples, geralmente uma potência simples
.
Regra geral que vamos usar (apresentando e explicando cada símbolo):
onde:
-
e são constantes reais (no nosso caso e ); -
é um número real que não seja (aqui ); -
é a constante de integração.
Essa fórmula vem diretamente do método da substituição; vou mostrar o passo a passo para o caso específico.
Passo 3
Escolha da substituição para o nosso problema: definimos
Agora calculamos a diferencial
em termos de
. Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
Isolando
temos
Passo 4
Substituímos
e
na integral original. A integral
fica, ao trocar
por
e
por
,
Repare que agora integrando
é direto: é só usar a regra da potência.
Passo 5
Integração da potência (lembrando a fórmula): para
,
Aplicando com
:
Multiplicando pelo fator
que ficou fora da integral:
Passo 6
Voltar à variável original
: lembrando que
, substituímos de volta:
Essa é uma primitiva de
. Para ter certeza, poderia-se derivar essa expressão e verificar que retorna
(verificação por derivação).