Calcule a integral.
h)
\int(3-2 x)^{20} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int(3-2 x)^{20}\,dx.
Informações dadas: a função a ser integrada é (3-2x)^{20}. É uma integral de uma potência de uma expressão linear em x. O resultado deve ser uma primitiva (antiderivada) mais uma constante de integração C.

Passo 2

Ideia do método (explicação bem didática): quando se tem uma integral de uma função composta do tipo (ax+b)^{n}, é muito prático usar a substituição (também chamada de método da substituição ou mudança de variável). A substituição serve para transformar a integral numa forma mais simples, geralmente uma potência simples u^{n}.
Regra geral que vamos usar (apresentando e explicando cada símbolo):
\text{Se }u=ax+b,\quad\text{então }\int (ax+b)^{n}\,dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+C,ã
onde:
  • a e b são constantes reais (no nosso caso a=-2 e b=3);
  • n é um número real que não seja -1 (aqui n=20);
  • C é a constante de integração.
    Essa fórmula vem diretamente do método da substituição; vou mostrar o passo a passo para o caso específico.

Passo 3

Escolha da substituição para o nosso problema: definimos
u = 3-2x.
Agora calculamos a diferencial du em termos de dx. Derivando ambos os lados em relação a x obtemos
\frac{du}{dx} = -2.
Isolando dx temos
dx = \frac{du}{-2} = -\tfrac{1}{2}\,du.

Passo 4

Substituímos u e dx na integral original. A integral
\int(3-2 x)^{20}\,dx
fica, ao trocar (3-2x) por u e dx por -\tfrac{1}{2}\,du,
\int u^{20}\left(-\tfrac{1}{2}\,du\right) = -\tfrac{1}{2}\int u^{20}\,du.
Repare que agora integrando u^{20} é direto: é só usar a regra da potência.

Passo 5

Integração da potência (lembrando a fórmula): para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando com n=20:
\int u^{20}\,du = \frac{u^{21}}{21}+C.
Multiplicando pelo fator -\tfrac{1}{2} que ficou fora da integral:
-\tfrac{1}{2}\int u^{20}\,du = -\tfrac{1}{2}\cdot\frac{u^{21}}{21}+C = -\frac{u^{21}}{42}+C.

Passo 6

Voltar à variável original x: lembrando que u=3-2x, substituímos de volta:
-\frac{u^{21}}{42}+C = -\frac{(3-2x)^{21}}{42}+C.
Essa é uma primitiva de (3-2x)^{20}. Para ter certeza, poderia-se derivar essa expressão e verificar que retorna (3-2x)^{20} (verificação por derivação).

Resposta

-\dfrac{(3-2x)^{21}}{42}+C

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