Calcule a integral:
(l) integral x ln (1+x) d x

Passo 1

Então, temos o exercício de calcular a integral . Vamos trabalhar com cálculo integral, mais especificamente usando a técnica de integração por partes. Para resolver isso, precisamos identificar partes da função que serão e na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, lembraremos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Essa técnica é útil quando a integral é o produto de duas funções, como é o caso aqui com e .

Passo 3

Vamos escolher u = ln(1+x) e dv = x , dx e da seguinte maneira:
Escolhemos como a parte que simplifica ao derivar, e como o restante.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar du = 11+x , dx e v = integral x , dx = x^22 . Vamos derivar e integrar :

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x ln(1+x) , dx = uv - integral v , du
Substituindo = ln(1+x) cdot x^22 - integral x^22 cdot 11+x , dx , , :

Passo 6

Vamos simplificar a integral restante:
integral x^22(1+x) , dx = 12 integral x^21+x , dx
Podemos simplificar x^21+x = x - 1 + 11+x dividindo 12 ( integral x , dx - integral 1 , dx + integral 11+x , dx ) por :
Então, a integral se torna:

Passo 7

Vamos calcular cada uma dessas integrais:
integral x , dx = x^22, integral 1 , dx = x, integral 11+x , dx = ln|1+x|
Substituindo de volta:
12 ( x^22 - x + ln|1+x| )
= x^24 - x2 + 12 ln(1+x)

Passo 8

Voltando à expressão inicial da integração por partes:
integral x ln(1+x) , dx = x^22 ln(1+x) - ( x^24 - x2 + 12 ln(1+x) )
Distribuindo o sinal negativo:
= x^22 ln(1+x) - x^24 + x2 - 12 ln(1+x)

Passo 9

Vamos simplificar os termos semelhantes:
x^22 ln(1+x) - 12 ln(1+x) = ( x^22 - 12 ) ln(1+x)
Então, a expressão fica:
( x^22 - 12 ) ln(1+x) - x^24 + x2

Passo 10

Finalmente, podemos fatorar 12 (x^2 - 1) ln(1+x) - x^24 + x2 + C para deixar a resposta mais elegante:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral de 12 (x^2 - 1) ln(1+x) - x^24 + x2 + C em relação a é:

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