Calcule a integral de linha do campo vetorial
sobre a curva suave dada pelo círculo de raio 2 em torno da origem, i. e.,
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício para calcular a integral de linha de um campo vetorial
sobre uma curva que é um círculo de raio 2 centrado na origem. A gente vai precisar entender o que é uma integral de linha, como parametrizar a curva e aplicar as fórmulas certas para resolver isso. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela mede o trabalho feito por um campo vetorial ao longo de uma curva. No nosso caso, o campo é
e a curva é o círculo de raio 2.
Passo 3
A curva está parametrizada por
, onde
varia de
a
. Isso significa que à medida que
muda,
percorre o círculo completo.
Passo 4
Para calcular a integral de linha, usamos a fórmula:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
.
Passo 5
Vamos encontrar
:
Passo 6
Agora, substituímos
no campo vetorial
:
Passo 7
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 8
A integral agora fica:
Vamos resolver integral por integral.
Passo 9
Primeira parte:
Usando propriedades de funções ímpares e periódicas, percebemos que essa integral ao longo de um período completo (
a
) é zero, porque a área positiva cancela com a negativa.
Passo 10
Segunda parte:
Aqui, fazemos a substituição
, então
. Os limites de integração continuam de
a
, mas percebemos que a função integrada também é periódica e ímpar, resultando em zero.
Passo 11
Somando as duas partes:
Resposta
A integral de linha do campo vetorial
sobre a curva dada é zero.