Calcule a integral de linha do campo vetorial
F(x, y)=(2 x y^3, 3 y, 2 x^2)=(2 x y^3) i+(3 y 2 x^2) j
sobre a curva suave dada pelo círculo de raio 2 em torno da origem, i. e.,
r(t)=(2 cos (t), 2 sin (t))

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício para calcular a integral de linha de um campo vetorial sobre uma curva que é um círculo de raio 2 centrado na origem. A gente vai precisar entender o que é uma integral de linha, como parametrizar a curva e aplicar as fórmulas certas para resolver isso. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela mede o trabalho feito por um campo vetorial ao longo de uma curva. No nosso caso, o campo é e a curva é o círculo de raio 2.

Passo 3

A curva está parametrizada por , onde varia de a . Isso significa que à medida que muda, percorre o círculo completo.

Passo 4

Para calcular a integral de linha, usamos a fórmula:
integralC F cdot dr = integrala^b F(r(t)) cdot r'(t) , dt
Aqui, é a derivada de em relação a .

Passo 5

Vamos encontrar r(t) = (2cos(t), 2sin(t)) r'(t) = (-2sin(t), 2cos(t)) :

Passo 6

Agora, substituímos F(r(t)) = F(2cos(t), 2sin(t)) = (2 cdot 2cos(t) cdot (2sin(t))^3, 6 cdot (2cos(t))^2 cdot 2sin(t)) = (32cos(t)sin^3(t), 48cos^2(t)sin(t)) no campo vetorial :

Passo 7

Agora, calculamos o produto escalar F(r(t)) cdot r'(t) = (32cos(t)sin^3(t)) cdot (-2sin(t)) + (48cos^2(t)sin(t)) cdot (2cos(t)) = -64cos(t)sin^4(t) + 96cos^3(t)sin(t) :

Passo 8

A integral agora fica:
integral0^2pi (-64cos(t)sin^4(t) + 96cos^3(t)sin(t)) dt
Vamos resolver integral por integral.

Passo 9

Primeira parte:
Usando propriedades de funções ímpares e periódicas, percebemos que essa integral ao longo de um período completo ( a ) é zero, porque a área positiva cancela com a negativa.

Passo 10

Segunda parte:
Aqui, fazemos a substituição , então . Os limites de integração continuam de a , mas percebemos que a função integrada também é periódica e ímpar, resultando em zero.

Passo 11

Somando as duas partes:
0 + 0 = 0

Resposta

A integral de linha do campo vetorial sobre a curva dada é zero.

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