Encontre a transformada de Laplace inversa da seguinte função.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace de $-\cos(2x) + 2x\sin(2x)$. O conteúdo envolvido é a definição da transformada de Laplace e as tabelas: $,\mathcal{L}{\cos(ax)}(s)=\dfrac{s}{s2+a2}$ e $,\mathcal{L}{x,f(x)}(s)=-\dfrac{d}{ds}\bigl[\mathcal{L}{f(x)}(s)\bigr]$.
Passo 2
Vamos separar a transformada em duas partes: $-\cos(2x)$ e $2x\sin(2x)$. Para a primeira parte, usamos $,\mathcal{L}{\cos(2x)}(s)=\dfrac{s}{s^2+4}$. Logo,
Passo 3
Para a segunda parte, primeiro lembramos que $,\mathcal{L}{\sin(2x)}(s)=\dfrac{2}{s^2+4}$. Em seguida aplicamos a propriedade do fator “x”:
Multiplicando por 2, temos
Passo 4
Somando as duas partes, obtemos
Podemos também colocar em um só denominador:
Resposta
$Y(s) = -\dfrac{s}{s^2+4} + \dfrac{8s}{(s2+4)2} = -\dfrac{s(s2-4)}{(s2+4)^2}$