Encontre a transformada de Laplace inversa da seguinte função.
y=-cos 2 x+2 x sen 2 x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace de $-\cos(2x) + 2x\sin(2x)$. O conteúdo envolvido é a definição da transformada de Laplace e as tabelas: $,\mathcal{L}{\cos(ax)}(s)=\dfrac{s}{s2+a2}$ e $,\mathcal{L}{x,f(x)}(s)=-\dfrac{d}{ds}\bigl[\mathcal{L}{f(x)}(s)\bigr]$.

Passo 2

Vamos separar a transformada em duas partes: $-\cos(2x)$ e $2x\sin(2x)$. Para a primeira parte, usamos $,\mathcal{L}{\cos(2x)}(s)=\dfrac{s}{s^2+4}$. Logo,
-cos(2x)

Passo 3

Para a segunda parte, primeiro lembramos que $,\mathcal{L}{\sin(2x)}(s)=\dfrac{2}{s^2+4}$. Em seguida aplicamos a propriedade do fator “x”:
,Lsin(2x)(s)=dfrac2s^2+4
Multiplicando por 2, temos
Lxsin(2x)(s) = -dfracddsl[dfrac2s^2+4r] = -l(-dfrac4s(s^2+4)^2r)=dfrac4s(s^2+4)^2

Passo 4

Somando as duas partes, obtemos
Y(s) = -dfracss^2+4 + dfrac8s(s^2+4)^2
Podemos também colocar em um só denominador:
Y(s) = -dfracs(s^2+4)(s^2+4)^2 + dfrac8s(s^2+4)^2 = -dfracs^3+4s -8s(s^2+4)^2 = -dfracs(s^2-4)(s^2+4)^2

Resposta

$Y(s) = -\dfrac{s}{s^2+4} + \dfrac{8s}{(s2+4)2} = -\dfrac{s(s2-4)}{(s2+4)^2}$

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