Use a transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial.
Passo 1
O problema pede para resolver a EDO com forçamento por impulso
usando transformada de Laplace. Precisamos usar: linearidade da transformada, propriedades da transformada de
e
, e a propriedade de deslocamento para
.
Passo 2
Faço a transformada de Laplace em ambos os lados de
, usando
e
:
Substituindo na EDO transformada:
Passo 3
Isolo
:
Passo 4
Separo em dois termos:
Para o segundo termo, faço frações parciais:
Passo 5
Faço a transformada inversa:
Para e
:
Para
Para
, uso a propriedade do degrau unitário
e sei que
Logo o termo deslocado é
Passo 6
Reuno tudo e obtenho a solução no domínio do tempo:
Resposta
y(x)=-6e{-2x}+4e{-3x}+u(x-5)\bigl(e{-2(x-5)}-e{-3(x-5)}\bigr)