Use a transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial.
y^prime prime+5 y^prime+6 y=de

Passo 1

O problema pede para resolver a EDO com forçamento por impulso de usando transformada de Laplace. Precisamos usar: linearidade da transformada, propriedades da transformada de y' e y'', e a propriedade de deslocamento para e^-5s.

Passo 2

Faço a transformada de Laplace em ambos os lados de y''+5y'+6y=de, usando y(0)=-2 e y'(0)=0:
Ly''=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0)=s^2Y+2s,
L5y'=5l(sY(s)-y(0)r)=5(sY+2),
L6y=6Y(s),
Lde
Substituindo na EDO transformada:
(s^2+5s+6)Y(s)+(2s+10)=e^-5s

Passo 3

Isolo Y(s):
Y(s)=e^-5s - (2s+10)(s+2)(s+3)

Passo 4

Separo em dois termos:
Y(s)=e^-5s(s+2)(s+3) - 2s+10(s+2)(s+3)
Para o segundo termo, faço frações parciais:
-2s+10(s+2)(s+3)=-2(s+5)(s+2)(s+3)=-6s+2+4s+3

Passo 5

Faço a transformada inversa:
Para -6s+2 e 4s+3:
-6e^-2x+4e^-3x
Para e^-5s(s+2)(s+3), uso a propriedade do degrau unitário u(x-5) e sei que
L^-1l1(s+2)(s+3)r=e^-2x-e^-3x
Logo o termo deslocado é
u(x-5)l(e^-2(x-5)-e^-3(x-5)r)

Passo 6

Reuno tudo e obtenho a solução no domínio do tempo:
y(x)=-6e^-2x+4e^-3x+u(x-5)l(e^-2(x-5)-e^-3(x-5)r)

Resposta

y(x)=-6e{-2x}+4e{-3x}+u(x-5)\bigl(e{-2(x-5)}-e{-3(x-5)}\bigr)

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