Calcule a integral de linha de 
  sobre 
 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha da função 
  sobre a curva 
  no intervalo de 
  de 0 a 1. Isso envolve conceitos de cálculo, especialmente integrais de linha para campos escalares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha para um campo escalar. Basicamente, a integral de linha de uma função 
  ao longo de uma curva 
  é dada por:
Aqui, 
  representa um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva.
Passo 3
Para calcular essa integral, precisamos parametrizar a curva 
 . Como a curva já está dada em função de 
 , podemos usar 
  como nosso parâmetro. Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos expressar 
  em termos de 
 . A fórmula para 
  em parámetro 
  é:
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 5
Substituindo 
  e 
  na integral, temos:
Vamos simplificar a expressão dentro da função:
Portanto,
Passo 6
Agora, a integral fica mais simples:
Passo 7
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja:
Mas na nossa integral já temos 
 , então:
Passo 8
Substituindo na integral:
Vamos integrar:
Passo 9
Agora, voltamos aos limites de integração. Quando 
 :
Quando 
 :
Então, a integral definida fica:
Resposta
A integral de linha é igual a 
 .