Calcule 
 , com 
  e 
  a circunferência de centro na origem e raio 3 , orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral de linha 
 , onde 
 . A curva 
  é uma circunferência com centro na origem e raio 3, orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar usar parametrização de curvas e calcular integrais vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a circunferência 
 . Como é uma circunferência de raio 3, podemos escrever:
Aqui, 
  é o ângulo que varia de 0 a 
  para percorrer toda a circunferência.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar 
 , que é o vetor diferencial ao longo da curva. Derivando 
  e 
  em relação a 
 :
Então, 
 .
Passo 4
Substituímos a parametrização na função 
 :
Simplificando:
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar 
 :
Simplificando cada termo:
Passo 6
Integrando de 
  a 
 :
Vamos resolver termo a termo:
- 
: - Substituindo 
, .  - Integral fica 
avaliado de a , que dá 0.  
 - Substituindo 
 - 
: - Como 
é uma função ímpar em um intervalo completo de a , a integral também dá 0.  
 - Como 
 - 
: - Integral de 
de a é avaliado de a , que também resulta em 0.  
 - Integral de 
 
Resposta
A integral 
  é igual a 0.