Calcule a integral de linha
quando:
e
é o arco de exponencial
entre os pontos
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde:
e
é o arco da exponencial
que vai do ponto
até o ponto
.
Informações relevantes que o enunciado dá:
A integral pedida é a integral de uma função escalar ao longo de uma curva, com diferencial de comprimento de arco
.
Passo 2
Vamos parametrizar a curva
. Como a curva é dada explicitamente por
, uma parametrização natural é tomar
como parâmetro. Definimos a curva por
porque quando
temos
e quando
temos
. Essa parametrização cobre exatamente o arco pedido.
Passo 3
Fórmula da integral de linha (função escalar ao longo de uma curva): se
parametriza
para
, então
Explicando:
é a velocidade da curva;
é o comprimento de arco elementar
. Então substituímos
pela parametrização e multiplicamos pelo comprimento elementar.
Passo 4
Calcule
e seu módulo:
O módulo é
Aqui eu mostrei passo a passo: derive componente a componente e aplique a definição de norma Euclidiana em
.
Passo 5
Avalie
ao longo da parametrização:
Expliquei: basta substituir
e
na expressão
.
Passo 6
Agora monte a integral usando a fórmula do Passo 3:
Em termos de
(já que tomámos
) podemos escrever também
que é a mesma expressão. Essa é a forma correta da integral definida que queremos calcular.
Passo 7
Verificação sobre possibilidade de primitiva elementar: às vezes dá para encontrar uma primitiva analítica; observe que a derivada de
é
, que não gera o fator extra
. Portanto não existe uma primitiva elemental óbvia e direta para o integrando
. Concluímos que a integral não tem primitiva expressável em funções elementares usuais; então a forma exata é a própria integral definida e, se necessário, obtemos um valor numérico aproximado.
Passo 8
Vamos calcular uma aproximação numérica para poder usar na prova se pedirem valor. Vou usar a Regra de Simpson com
subintervalos (passo
). Defino
Calculo
em
:
Aplicando Simpson:
com
. Substituindo os valores aproximados:
As somas dão aproximadamente
e multiplicando por
obtemos
Esse valor é uma aproximação numérica razoável; com mais subdivisões (maior
) conseguimos mais precisão.
Passo 9
Conclusão prática para a prova: a integral de linha pode ser escrita exatamente como uma integral de uma variável e, se for pedido apenas o estabelecimento, a expressão fechada é suficiente; se pedirem valor numérico, use métodos numéricos (Simpson, quadratura) para obter a aproximação.