Calcule a integral de linha \int_{C} f d s quando:
f(x, y)=x e^{y} e C é o arco de exponencial y=e^{x} entre os pontos (0,1) e (1, e).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C} f\,ds onde:
f(x,y)=x e^{y},
e C é o arco da exponencial y=e^{x} que vai do ponto (0,1) até o ponto (1,e).
Informações relevantes que o enunciado dá:
\text{(i)}\quad f(x,y)=x e^{y};
\text{(ii)}\quad C:\; y=e^{x}, \text{ do ponto }(0,1)\text{ até }(1,e).é
A integral pedida é a integral de uma função escalar ao longo de uma curva, com diferencial de comprimento de arco ds.

Passo 2

Vamos parametrizar a curva C. Como a curva é dada explicitamente por y=e^{x}, uma parametrização natural é tomar x como parâmetro. Definimos a curva por
\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t))=(t,e^{t}),\qquad t\in[0,1],
porque quando t=0 temos (0,e^{0})=(0,1) e quando t=1 temos (1,e^{1})=(1,e). Essa parametrização cobre exatamente o arco pedido.

Passo 3

Fórmula da integral de linha (função escalar ao longo de uma curva): se \mathbf{r}(t) parametriza C para t\in[a,b], então
\int_{C} f\,ds = \int_{a}^{b} f\big(\mathbf{r}(t)\big)\,\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt.
Explicando: \mathbf{r}'(t) é a velocidade da curva; \|\mathbf{r}'(t)\|\,dt é o comprimento de arco elementar ds. Então substituímos x,y pela parametrização e multiplicamos pelo comprimento elementar.

Passo 4

Calcule \mathbf{r}'(t) e seu módulo:
\mathbf{r}'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,e^{t}).
O módulo é
\|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{(1)^{2}+(e^{t})^{2}}=\sqrt{1+e^{2t}}.
Aqui eu mostrei passo a passo: derive componente a componente e aplique a definição de norma Euclidiana em \mathbb{R}^{2}.

Passo 5

Avalie f ao longo da parametrização:
f\big(\mathbf{r}(t)\big)=f(t,e^{t})=t\;e^{\,e^{t}}.
Expliquei: basta substituir x=t e y=e^{t} na expressão f(x,y)=x e^{y}.

Passo 6

Agora monte a integral usando a fórmula do Passo 3:
\int_{C} f\,ds = \int_{0}^{1} \big(t e^{e^{t}}\big)\,\sqrt{1+e^{2t}}\,dt.
Em termos de x (já que tomámos t=x) podemos escrever também
\int_{0}^{1} x\,e^{e^{x}}\,\sqrt{1+e^{2x}}\,dx,
que é a mesma expressão. Essa é a forma correta da integral definida que queremos calcular.

Passo 7

Verificação sobre possibilidade de primitiva elementar: às vezes dá para encontrar uma primitiva analítica; observe que a derivada de e^{e^{t}} é e^{e^{t}}\,e^{t}, que não gera o fator extra t\sqrt{1+e^{2t}}. Portanto não existe uma primitiva elemental óbvia e direta para o integrando t e^{e^{t}}\sqrt{1+e^{2t}}. Concluímos que a integral não tem primitiva expressável em funções elementares usuais; então a forma exata é a própria integral definida e, se necessário, obtemos um valor numérico aproximado.

Passo 8

Vamos calcular uma aproximação numérica para poder usar na prova se pedirem valor. Vou usar a Regra de Simpson com n=4 subintervalos (passo h=0,25). Defino
g(x)=x\,e^{e^{x}}\,\sqrt{1+e^{2x}}.
Calculo g em x=0,0{,}25,0{,}5,0{,}75,1:
x=0:
g(0)=0\cdot e^{e^{0}}\sqrt{1+e^{0}}=0.
x=0{,}25: com e^{0{,}25}\approx 1{,}284025, e^{e^{0{,}25}}\approx 3{,}611706, \sqrt{1+e^{0{,}5}}\approx 1{,}627511,
g(0{,}25)\approx 0{,}25\cdot 3{,}611706\cdot 1{,}627511 \approx 1{,}4697.
x=0{,}5: com e^{0{,}5}\approx 1{,}648721, e^{e^{0{,}5}}\approx 5{,}200336, \sqrt{1+e^{1}}\approx 1{,}928750,
g(0{,}5)\approx 0{,}5\cdot 5{,}200336\cdot 1{,}928750 \approx 5{,}0139.
x=0{,}75: com e^{0{,}75}\approx 2{,}117000, e^{e^{0{,}75}}\approx 8{,}3059, \sqrt{1+e^{1{,}5}}\approx 2{,}341872,
g(0{,}75)\approx 0{,}75\cdot 8{,}3059\cdot 2{,}341872 \approx 14{,}5935.
x=1: com e^{1}=e\approx 2{,}7182818, e^{e}\approx 15{,}154262, \sqrt{1+e^{2}}\approx 2{,}89607,
g(1)\approx 1\cdot 15{,}154262\cdot 2{,}89607 \approx 43{,}882.
Aplicando Simpson:
\int_{0}^{1} g(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\big(g(0)+4g(0{,}25)+2g(0{,}5)+4g(0{,}75)+g(1)\big),
com h=0{,}25. Substituindo os valores aproximados:
\int_{0}^{1} g(x)\,dx \approx \frac{0{,}25}{3}\big(0 + 4(1{,}4697)+2(5{,}0139)+4(14{,}5935)+43{,}882\big).
As somas dão aproximadamente 118{,}163 e multiplicando por 0{,}25/3 obtemos
\int_{0}^{1} g(x)\,dx \approx 9{,}847.
Esse valor é uma aproximação numérica razoável; com mais subdivisões (maior n) conseguimos mais precisão.

Passo 9

Conclusão prática para a prova: a integral de linha pode ser escrita exatamente como uma integral de uma variável e, se for pedido apenas o estabelecimento, a expressão fechada é suficiente; se pedirem valor numérico, use métodos numéricos (Simpson, quadratura) para obter a aproximação.

Resposta

\displaystyle \int_{C} f\,ds=\int_{0}^{1} x\,e^{e^{x}}\,\sqrt{1+e^{2x}}\,dx \approx 9,847

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