Encontre uma função potencial para os seguintes campos de vetores.
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma função potencial para o campo de vetores
As informações relevantes dadas são as componentes do campo: a primeira componente (chamarei de
) e a segunda componente (chamarei de
):
O que se pede é uma função
tal que
Passo 2
Vamos lembrar (com calma) uma condição prática que usamos para testar se existe uma função
com essas propriedades: se
e
são suficientemente suaves num domínio simplesmente conexo (por exemplo
), então uma condição necessária e suficiente para que exista
é que as derivadas cruzadas coincidam:
Explico o porquê de modo simples: se
e
então
e
, e pela igualdade das derivadas mistas de
(função suave) temos
. Em
isso também é suficiente para garantir existência local/global de potencial.
Passo 3
Calculemos passo a passo
. Começamos recordando que
. A derivada de
em relação a
é
. Assim,
Simplificando o fator,
Passo 4
Agora calculemos
. Temos
. A derivada de
em relação a
é
. Portanto,
Simplificando os fatores,
Passo 5
Comparemos as duas derivadas cruzadas que obtivemos:
Elas não são iguais: de fato
quando
. Logo a condição necessária e suficiente para existência de potencial falha.
Passo 6
Para solidificar a conclusão, faço a tentativa padrão de construir
integrando
em
e verificando com
. Integramos
Como
é tratada como constante no integral em
, temos
onde
é função arbitrária de
. Assim
Agora derivamos essa expressão em
:
Logo
Para que
coincida com
precisaríamos que
Isto implica
Mas o lado direito depende de
enquanto
só pode depender de
. Isso é uma contradição, confirmando que não existe função
que corrija a incompatibilidade. Portanto não existe
satisfazendo simultaneamente
e
em um domínio que contenha pontos com
.
Passo 7
Conclusão final, em linguagem curta e direta: o campo não é conservativo em
porque a condição de igualdade das derivadas cruzadas falha. Logo não existe função potencial definida globalmente em
para o campo dado. (Se alguém perguntar: em subdomínios degenerados onde
trivialmente as componentes se anulam ou tornam-se compatíveis; mas isso são casos muito especiais e locais.)
Resposta
Não existe função potencial globalmente, pois
.