Use a identidade
para
para mostrar que
se
;
Passo 1
O enunciado fornece a identidade
válida para
e pede para mostrar que
se
. As informações relevantes que temos são:
- a identidade
para ;\n - a condição numérica
;\n - o objetivo de provar que uma potência cujo expoente cresce sem limite tende a zero (ainda que o enunciado mencione
e também ; na demonstração usaremos a quantidade positiva para aplicar a identidade).
Passo 2
Trate primeiro o caso trivial
. Se
então, para todo
,
portanto
Logo o resultado é verdadeiro nesse caso.
Passo 3
Agora considere o caso não trivial em que
. Aqui
é um número positivo estritamente menor que
, então podemos aplicar a identidade com
. Usando a identidade para potências inteiras positivas,
Explicando a fórmula:
é o logaritmo natural de
, que existe porque
; a igualdade
vem da identidade dada, e elevar ambos os lados à potência
nos dá
.
Passo 4
Mostre que
. Isso é porque a função
é crescente e satisfaz
. Como
, pela monotonicidade do
obtemos
Portanto
é uma constante negativa.
Passo 5
Analise o comportamento da sequência no expoente: seja
(então
). A sequência
quando
tende a
, porque multiplicamos a constante negativa
por
que cresce sem limite. Formalmente, para qualquer
existe
tal que para todo
temos
, isto é
; isto é justamente a definição de
.
Passo 6
Use a continuidade (e o comportamento) da função exponencial: se uma sequência
então
. Aplicando com
obtemos
Pelo Passo 3 isso equivale a
Passo 7
Conclua a partir da convergência do valor absoluto. Sabendo que
, temos
. Uma sequência de números reais cuja sequência dos valores absolutos tende a
tem a própria sequência tendendo a
. Portanto
Passo 8
Interpretação final para a notação do enunciado: a potência indicada
também tende a zero sempre que a base satisfizer
. Assim, sob a hipótese
a sequência de potências (seja escrita como
ou
com base cujo módulo é
) converge para
.