Use a identidade x=e^{\ln x} para x>0 para mostrar que
\lim _{k \rightarrow \infty} d^{k}=0
se |a|<1;

Passo 1

O enunciado fornece a identidade \,x=e^{\ln x}\, válida para \,x>0\, e pede para mostrar que
\lim_{k\rightarrow\infty} d^{k}=0
se |a|<1. As informações relevantes que temos são:
  • a identidade \,x=e^{\ln x}\, para x>0;\n
  • a condição numérica |a|<1;\n
  • o objetivo de provar que uma potência cujo expoente cresce sem limite tende a zero (ainda que o enunciado mencione d^{k} e também |a|; na demonstração usaremos a quantidade positiva |a| para aplicar a identidade).

Passo 2

Trate primeiro o caso trivial \,a=0. Se \,a=0 então, para todo k\ge 1,
a^{k}=0,
portanto
\lim_{k\rightarrow\infty} a^{k}=0.
Logo o resultado é verdadeiro nesse caso.

Passo 3

Agora considere o caso não trivial em que 0<|a|<1. Aqui |a| é um número positivo estritamente menor que 1, então podemos aplicar a identidade com x=|a|. Usando a identidade para potências inteiras positivas,
|a|^{k}= \big(e^{\ln|a|}\big)^{k}=e^{k\ln|a|}.
Explicando a fórmula: \ln|a| é o logaritmo natural de |a|, que existe porque |a|>0; a igualdade |a|=e^{\ln|a|} vem da identidade dada, e elevar ambos os lados à potência k nos dá |a|^{k}=e^{k\ln|a|}.

Passo 4

Mostre que \ln|a|<0. Isso é porque a função \ln x é crescente e satisfaz \ln 1=0. Como |a|<1, pela monotonicidade do \ln obtemos
\ln|a|<\ln 1=0.
Portanto \ln|a| é uma constante negativa.

Passo 5

Analise o comportamento da sequência no expoente: seja c=\ln|a| (então c<0). A sequência \,k c quando k\to\infty tende a -\infty, porque multiplicamos a constante negativa c por k que cresce sem limite. Formalmente, para qualquer M>0 existe K tal que para todo k\ge K temos k(-c)>M, isto é k c<-M; isto é justamente a definição de k c\to -\infty.

Passo 6

Use a continuidade (e o comportamento) da função exponencial: se uma sequência y_{k}\to -\infty então e^{y_{k}}\to 0. Aplicando com y_{k}=k\ln|a| obtemos
e^{k\ln|a|}\longrightarrow 0\quad\text{quando }k\to\infty.
Pelo Passo 3 isso equivale a
|a|^{k}\longrightarrow 0\quad\text{quando }k\to\infty.

Passo 7

Conclua a partir da convergência do valor absoluto. Sabendo que |a|^{k}\to 0, temos |a^{k}|\to 0. Uma sequência de números reais cuja sequência dos valores absolutos tende a 0 tem a própria sequência tendendo a 0. Portanto
a^{k}\longrightarrow 0\quad\text{quando }k\to\infty.

Passo 8

Interpretação final para a notação do enunciado: a potência indicada \,d^{k}\, também tende a zero sempre que a base satisfizer |\text{base}|<1. Assim, sob a hipótese |a|<1 a sequência de potências (seja escrita como a^{k} ou d^{k} com base cujo módulo é <1) converge para 0.

Resposta

\,0

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