Calcule a integral de linha
\int_{C}\left(3 x^{2}+y^{2}\right) d x+2 x y d y+3 z^{2} d z
com C a fronteira de qualquer superfície regular, fechada e orientável.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{C}\bigl(3x^{2}+y^{2}\bigr)\,dx+2xy\,dy+3z^{2}\,dz
onde C é a fronteira de uma superfície fechada e orientável em \mathbb{R}^{3}. O conteúdo principal é o cálculo de integrais de linha de campos vetoriais e o teste de conservatividade (ou uso do Teorema de Stokes no caso geral).

Passo 2

Interpretemos o integrando como um campo vetorial
F(x,y,z) = \bigl(P,Q,R\bigr) \quad\text{com}\quad P=3x^{2}+y^{2},\;Q=2xy,\;R=3z^{2}.
Como o domínio é todo \mathbb{R}^{3}, que é simplesmente conexo, podemos verificar se F é conservativo conferindo se \nabla \times F = 0.

Passo 3

Calculemos o rotacional de F:
\nabla \times F = \Bigl(\tfrac{\partial R}{\partial y}-\tfrac{\partial Q}{\partial z},\; \tfrac{\partial P}{\partial z}-\tfrac{\partial R}{\partial x},\; \tfrac{\partial Q}{\partial x}-\tfrac{\partial P}{\partial y}\Bigr).
Aqui \tfrac{\partial R}{\partial y}=0, \tfrac{\partial Q}{\partial z}=0, \tfrac{\partial P}{\partial z}=0, \tfrac{\partial R}{\partial x}=0, \tfrac{\partial Q}{\partial x}=2y, \tfrac{\partial P}{\partial y}=2y.
Logo
\nabla \times F = (0-0,\;0-0,\;2y-2y) = (0,0,0),
ou seja, F é conservativo.

Passo 4

Podemos então encontrar uma função potencial \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=F.
Integramos P em relação a x:
\varphi(x,y,z) = \int (3x^{2}+y^{2})\,dx = x^{3}+x\,y^{2}+g(y,z).
Diferenciando em y e igualando a Q=2xy obtemos \partial g/\partial y=0, logo g=g(z).
Depois, de \partial \varphi/\partial z=3z^{2} segue g(z)=z^{3}+C.
Portanto
\varphi(x,y,z)=x^{3}+x\,y^{2}+z^{3}
(podemos desprezar a constante C).

Passo 5

Para qualquer curva fechada C em um campo conservativo vale
\oint_{C}F\cdot d\mathbf r =0.
Assim, a integral de linha dada é zero.

Resposta

0

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