Calcule a integral de linha
com
a fronteira de qualquer superfície regular, fechada e orientável.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é a fronteira de uma superfície fechada e orientável em
. O conteúdo principal é o cálculo de integrais de linha de campos vetoriais e o teste de conservatividade (ou uso do Teorema de Stokes no caso geral).
Passo 2
Interpretemos o integrando como um campo vetorial
Como o domínio é todo
, que é simplesmente conexo, podemos verificar se
é conservativo conferindo se
.
Passo 3
Calculemos o rotacional de
:
Aqui
,
,
,
,
,
.
Logo
Logo
ou seja,
é conservativo.
Passo 4
Podemos então encontrar uma função potencial
tal que
.
Integramos em relação a
:
Integramos
Diferenciando em
e igualando a
obtemos
, logo
.
Depois, de segue
.
Portanto
Depois, de
Portanto
(podemos desprezar a constante
).
Passo 5
Para qualquer curva fechada
em um campo conservativo vale
Assim, a integral de linha dada é zero.