Seja D a região delimitada pelos planos coordenados e pelos planos x=1, \quad y=1 e z=1. Determine a integral de superfície \iint_{S} F n d s, F=(2 x-z) \vec{i}+x^{2} \vec{j}-x z^{2} \vec{k} e S a superfície que delimita D. sol: 3 / 2

Passo 1

O enunciado pede a integral de superfície \displaystyle \iint_{S}F\cdot n\,dS
onde S é a superfície fechada que limita a região
D=\{(x,y,z)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le1,\;0\le z\le1\}
(um cubo no primeiro octante). Vamos usar o Teorema da Divergência, que diz
\iint_{S}F\cdot n\,dS = \iiint_{D}\bigl(\nabla\!\cdot F\bigr)\,dV.

Passo 2

Calculamos a divergência de
F=(2x-z)\,\mathbf{i}+x^{2}\,\mathbf{j}-x\,z^{2}\,\mathbf{k}.
Temos
\nabla\!\cdot F =\frac{\partial}{\partial x}(2x-z) +\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}) +\frac{\partial}{\partial z}(-x\,z^{2}) =2 + 0 - 2xz = 2 - 2xz.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência,
\iint_{S}F\cdot n\,dS =\iiint_{D}(2-2xz)\,dV =\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1}(2-2xz)\,dx\,dy\,dz.

Passo 4

Integramos por partes:
  1. Em x:
\int_{0}^{1}(2-2xz)\,dx =\bigl[2x - x^{2}z\bigr]_{0}^{1} =2 - z.
  1. Em y:
\int_{0}^{1}(2 - z)\,dy =(2 - z)\cdot1 =2 - z.
  1. Em z:
\int_{0}^{1}(2 - z)\,dz =\bigl[2z - \tfrac{z^{2}}{2}\bigr]_{0}^{1} =2 - \tfrac12 =\tfrac32.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}

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