Calcule a integral de linha
, onde
esta parametrizada por
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde a curva
está parametrizada por
para
.
Informações dadas:
- A função a integrar é dada pelos coeficientes
(multiplicando ) e (multiplicando ). - A parametrização fornece
e com variando de a . - A orientação da curva é a do aumento de
(isto é, de para ).
O que se quer: calcular o valor numérico da integral de linha ao longo dessa curva orientada.
Passo 2
Método escolhido e fórmula a usar.
Quando uma curva
é dada por uma parametrização
,
, a integral de linha
pode ser reescrita em termos de
como
Explicando cada peça:
-
é a derivada de em relação a e representa dividido por . -
é a derivada de em relação a e representa dividido por . - Avaliar
e em significa substituir e pelas suas expressões em .
Este é o método mais direto e elementar para resolver o problema, e é o que vamos aplicar.
Passo 3
Calcular
e suas derivadas a partir da parametrização.
Da parametrização
temos
Derivando em relação a
:
Passo 4
Avaliar
e
ao longo da curva (substituir
e
).
Lembrando
e
, obtemos
Passo 5
Formar o integrando em
usando a fórmula do Passo 2.
Substituindo na fórmula:
Calcule o segundo termo passo a passo:
Portanto o integrando é
Passo 6
Escrever a integral em
e integrar termo a termo.
A integral de linha torna-se
Usa-se a regra básica de integração de potências: para
,
Aplicando a cada termo:
Passo 7
Avaliar a primitiva nos limites
e
.
Substituindo
e
na primitiva: