Calcule a integral de linha \int_{C} x^{2} y d x+(x-2 y) d y, onde C esta parametrizada por
r(t)=\left(t, t^{2}\right), 0 \leq t \leq 1;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} x^{2}y\,dx + (x-2y)\,dy
onde a curva C está parametrizada por r(t)=\bigl(t,t^{2}\bigr) para 0\le t\le1.
Informações dadas:
  • A função a integrar é dada pelos coeficientes P(x,y)=x^{2}y (multiplicando dx) e Q(x,y)=x-2y (multiplicando dy).
  • A parametrização fornece x(t)=t e y(t)=t^{2} com t variando de 0 a 1.
  • A orientação da curva é a do aumento de t (isto é, de t=0 para t=1).
O que se quer: calcular o valor numérico da integral de linha ao longo dessa curva orientada.

Passo 2

Método escolhido e fórmula a usar.
Quando uma curva C é dada por uma parametrização r(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr), a\le t\le b, a integral de linha
\int_{C} P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy
pode ser reescrita em termos de t como
\int_{a}^{b} \Bigl(P\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,x'(t) + Q\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,y'(t)\Bigr)\,dt.
Explicando cada peça:
  • x'(t)=\dfrac{dx}{dt} é a derivada de x em relação a t e representa dx dividido por dt.
  • y'(t)=\dfrac{dy}{dt} é a derivada de y em relação a t e representa dy dividido por dt.
  • Avaliar P e Q em \bigl(x(t),y(t)\bigr) significa substituir x e y pelas suas expressões em t.
Este é o método mais direto e elementar para resolver o problema, e é o que vamos aplicar.

Passo 3

Calcular x(t),y(t) e suas derivadas a partir da parametrização.
Da parametrização r(t)=\bigl(t,t^{2}\bigr) temos
x(t)=t,\qquad y(t)=t^{2}.
Derivando em relação a t:
x'(t)=1,\qquad y'(t)=2t.

Passo 4

Avaliar P e Q ao longo da curva (substituir x(t) e y(t)).
Lembrando P(x,y)=x^{2}y e Q(x,y)=x-2y, obtemos
P\bigl(x(t),y(t)\bigr)=\bigl(t\bigr)^{2}\bigl(t^{2}\bigr)=t^{4},
Q\bigl(x(t),y(t)\bigr)=t-2t^{2}.

Passo 5

Formar o integrando em t usando a fórmula do Passo 2.
Substituindo na fórmula:
P\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,x'(t) + Q\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,y'(t) = t^{4}\cdot 1 + (t-2t^{2})\cdot(2t).
Calcule o segundo termo passo a passo:
(t-2t^{2})\cdot(2t)=2t^{2}-4t^{3}.
Portanto o integrando é
t^{4} + 2t^{2} - 4t^{3}.

Passo 6

Escrever a integral em t e integrar termo a termo.
A integral de linha torna-se
\int_{0}^{1}\bigl(t^{4} - 4t^{3} + 2t^{2}\bigr)\,dt.
Usa-se a regra básica de integração de potências: para n\neq -1,
\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}.
Aplicando a cada termo:
\int \bigl(t^{4} - 4t^{3} + 2t^{2}\bigr)\,dt = \frac{t^{5}}{5} - 4\cdot\frac{t^{4}}{4} + 2\cdot\frac{t^{3}}{3} = \frac{t^{5}}{5} - t^{4} + \frac{2}{3}t^{3}.

Passo 7

Avaliar a primitiva nos limites 0 e 1.
Substituindo t=1 e t=0 na primitiva:
\left.\left(\frac{t^{5}}{5} - t^{4} + \frac{2}{3}t^{3}\right)\right|_{0}^{1} = \frac{1}{5} - 1 + \frac{2}{3}.

Resposta

-\dfrac{2}{15}

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