Encontre a inclinação da reta tangente à curva f(x)=x-x^{3} no ponto (1,0) usando:
a) a definição 1 :
m=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}
b) a equação 2:
m=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=x-x^{3} e o ponto (1,0). Pede para encontrar a inclinação da reta tangente à curva em x=a=1 usando duas definições diferentes do coeficiente angular m:
  • Definição 1:
m=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}
  • Definição 2:
m=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
Informações relevantes dadas:
  • f(x)=x-x^{3}.
  • O ponto é (1,0), logo a=1 e f(1)=0.
  • Quer-se calcular m pelas duas fórmulas de limite acima.

Passo 2

Antes de calcular, vale uma explicação rápida e prática do que essas fórmulas significam (sem pressa): ambas definem a derivada de f em a, isto é, a inclinação da reta tangente em x=a. A diferença é só a forma de escrever o limite: na primeira aproximamos x por a; na segunda usamos um incremento h=x-a e fazemos h\to0. As duas são equivalentes matematicamente.
Agora aplicamos as fórmulas com a=1 e f(1)=0.

Passo 3

Usando a definição 1:
m=\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}.
Substituindo f(x)=x-x^{3} e f(1)=0:
m=\lim_{x\to1}\frac{x-x^{3}-0}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{x(1-x^{2})}{x-1}.

Passo 4

Vamos simplificar o numerador para poder cancelar o denominador. Note que
1-x^{2}=(1-x)(1+x)=-(x-1)(1+x).
Substituindo essa fatoração no numerador:
\frac{x(1-x^{2})}{x-1}=\frac{x\bigl(-(x-1)(1+x)\bigr)}{x-1}=-x(1+x)\cdot\frac{(x-1)}{x-1}.
Como estamos fazendo um limite em que x\to1 mas x\neq1 durante a simplificação, podemos cancelar (x-1). Assim:
m=\lim_{x\to1}-x(1+x).
Agora é só avaliar o polinômio no ponto x=1:
m=-1(1+1)=-2.

Passo 5

Agora usando a definição 2 (forma com h). Temos
m=\lim_{h\to0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}.
Calculamos f(1+h). Usando (1+h)^{3}=1+3h+3h^{2}+h^{3}:
f(1+h)=(1+h)-(1+h)^{3}=1+h-\bigl(1+3h+3h^{2}+h^{3}\bigr)= -2h-3h^{2}-h^{3}.
Como f(1)=0, o numerador fica -2h-3h^{2}-h^{3}.

Passo 6

Dividindo o numerador por h:
\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{-2h-3h^{2}-h^{3}}{h}=-2-3h-h^{2}.
Agora tomamos o limite quando h\to0:
m=\lim_{h\to0}\bigl(-2-3h-h^{2}\bigr)=-2.

Passo 7

Conclusão e dica prática: as duas definições deram o mesmo resultado m=-2, como esperado. Em provas, para polinômios geralmente a forma com h é mais direta (expande-se f(a+h) e cancela h); a forma com x\to a é útil quando é mais fácil fatorar a diferença de função. Sempre verifique se dá para cancelar um fator comum antes de avaliar o limite.

Resposta

a) m=-2
b) m=-2

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