Encontre a inclinação da reta tangente à curva
no ponto
usando:
a) a definição 1 :
b) a equação 2:
a) a definição 1 :
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e o ponto
. Pede para encontrar a inclinação da reta tangente à curva em
usando duas definições diferentes do coeficiente angular
:
- Definição 1:
- Definição 2:
Informações relevantes dadas:
-
. - O ponto é
, logo e . - Quer-se calcular
pelas duas fórmulas de limite acima.
Passo 2
Antes de calcular, vale uma explicação rápida e prática do que essas fórmulas significam (sem pressa): ambas definem a derivada de
em
, isto é, a inclinação da reta tangente em
. A diferença é só a forma de escrever o limite: na primeira aproximamos
por
; na segunda usamos um incremento
e fazemos
. As duas são equivalentes matematicamente.
Agora aplicamos as fórmulas com
e
.
Passo 3
Usando a definição 1:
Substituindo
e
:
Passo 4
Vamos simplificar o numerador para poder cancelar o denominador. Note que
Substituindo essa fatoração no numerador:
Como estamos fazendo um limite em que
mas
durante a simplificação, podemos cancelar
. Assim:
Agora é só avaliar o polinômio no ponto
:
Passo 5
Agora usando a definição 2 (forma com
). Temos
Calculamos
. Usando
:
Como
, o numerador fica
.
Passo 6
Dividindo o numerador por
:
Agora tomamos o limite quando
:
Passo 7
Conclusão e dica prática: as duas definições deram o mesmo resultado
, como esperado. Em provas, para polinômios geralmente a forma com
é mais direta (expande-se
e cancela
); a forma com
é útil quando é mais fácil fatorar a diferença de função. Sempre verifique se dá para cancelar um fator comum antes de avaliar o limite.
Resposta
a)
b)
b)