Questão 3: Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
z=y^{2}-x^{2},(-4,5,9)

Passo 1

O enunciado pede: determinar uma equação do plano tangente à superfície no ponto dado. As informações que temos:
  • Superfície dada por z = y^{2} - x^{2}.
  • Ponto especificado (-4,5,9).

Passo 2

Primeiro verifico que o ponto realmente pertence à superfície (sempre faça isso na prova).
Calculo y^{2}-x^{2} no par (x,y)=(-4,5):
y^{2}-x^{2}=5^{2}-(-4)^{2}=25-16=9.
Como o valor obtido é 9, que coincide com a coordenada z do ponto, o ponto (-4,5,9) está sobre a superfície.

Passo 3

Explico a fórmula que vamos usar (aqui é onde aprendo a fazer esto na prova). Se a superfície é dada como z=f(x,y), o plano tangente em (x_0,y_0,f(x_0,y_0)) vem da linearização de f:
z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
O que significam os termos:
  • f_x é a derivada parcial de f em relação a x: mede a inclinação da superfície quando se mexe em x mantendo y fixo.
  • f_y é a derivada parcial de f em relação a y: mede a inclinação quando se mexe em y mantendo x fixo.
    Na prática, calcula-se f_x e f_y, avalia-se em (x_0,y_0) e coloca-se na fórmula acima.

Passo 4

Agora calculo as derivadas parciais da função f(x,y)=y^{2}-x^{2}.
  • Diferenciando em relação a x (tratando y como constante) uso a regra do polinômio: a derivada de x^{2} é 2x. Como há um sinal negativo,
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{2}-x^{2}\bigr)=-2x.
  • Diferenciando em relação a y (tratando x como constante): a derivada de y^{2} é 2y, logo
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}-x^{2}\bigr)=2y.

Passo 5

Avalio as derivadas no ponto (x_0,y_0)=(-4,5):
f_x(-4,5) = -2\cdot(-4)=8, \qquad f_y(-4,5)=2\cdot5=10.

Passo 6

Substituo tudo na fórmula do plano tangente. Aqui f(x_0,y_0)=9, x_0=-4, y_0=5. Assim:
z = 9 + 8\,(x-(-4)) + 10\,(y-5).
Posso deixar nessa forma ou expandir para simplificar:
z = 9 + 8(x+4) + 10(y-5).

Passo 7

Faço a expansão e simplificação final (passo algébrico):
z = 9 + 8x + 32 + 10y -50 = 8x + 10y + (9+32-50) = 8x + 10y -9.

Resposta

z = 8x + 10y - 9

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