Questão 3: Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
Passo 1
O enunciado pede: determinar uma equação do plano tangente à superfície no ponto dado. As informações que temos:
- Superfície dada por
. - Ponto especificado
.
Passo 2
Primeiro verifico que o ponto realmente pertence à superfície (sempre faça isso na prova).
Calculo no par
:
Calculo
Como o valor obtido é
, que coincide com a coordenada
do ponto, o ponto
está sobre a superfície.
Passo 3
Explico a fórmula que vamos usar (aqui é onde aprendo a fazer esto na prova). Se a superfície é dada como
, o plano tangente em
vem da linearização de
:
O que significam os termos:
-
é a derivada parcial de em relação a : mede a inclinação da superfície quando se mexe em mantendo fixo. -
é a derivada parcial de em relação a : mede a inclinação quando se mexe em mantendo fixo.
Na prática, calcula-see , avalia-se em e coloca-se na fórmula acima.
Passo 4
Agora calculo as derivadas parciais da função
.
- Diferenciando em relação a
(tratando como constante) uso a regra do polinômio: a derivada de é . Como há um sinal negativo,
- Diferenciando em relação a
(tratando como constante): a derivada de é , logo
Passo 5
Avalio as derivadas no ponto
:
Passo 6
Substituo tudo na fórmula do plano tangente. Aqui
,
,
. Assim:
Posso deixar nessa forma ou expandir para simplificar:
Passo 7
Faço a expansão e simplificação final (passo algébrico):