Calcule a integral de linha \int_{C} x^{2} y d x+(x-2 y) d y, onde C esta parametrizada por
r(t)=\left(\sin (t) \sin ^{2}(t)\right), 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}.

Passo 1

O que o problema pede e quais dados nos foram dados:
  • Pede calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C} x^{2}y\,dx+(x-2y)\,dy.
  • A curva C está parametrizada por r(t)=\big(\sin(t),\;\sin^{2}(t)\big),\qquad 0\le t\le \frac{\pi}{2}.
  • Informações extraídas do enunciado:
    • x(t)=\sin(t).
    • y(t)=\sin^{2}(t).
    • O parâmetro varia de t=0 até t=\dfrac{\pi}{2}.

Passo 2

Fórmula que vou usar (explicada passo a passo):
  • Para uma curva parametrizada por r(t)=(x(t),y(t)), com a\le t\le b, a integral de linha \int_{C} P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dytransforma-se em \int_{a}^{b} \big(P(x(t),y(t))\,x'(t) + Q(x(t),y(t))\,y'(t)\big)\,dt.Explicando: P e Q são as funções que aparecem na integral; x'(t) e y'(t) são as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t. Substituindo x(t) e y(t) obtemos uma integral em t que podemos calcular normalmente.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
  • Aqui P(x,y)=x^{2}y e Q(x,y)=x-2y.
  • Como já identifiquei em

Passo 4

  • Calculo as derivadas: x'(t)=\cos t, \qquad y'(t)=2\sin t\cos t.

Passo 5

Substituo x(t),y(t),x'(t),y'(t) na fórmula e simplifico passo a passo:
  • Primeiro avalio P(x(t),y(t)): P(x(t),y(t))=x(t)^{2}y(t)=(\sin t)^{2}\cdot\sin^{2}t=\sin^{4}t.Multiplicando por x'(t): P(x(t),y(t))\,x'(t)=\sin^{4}t\cdot\cos t.
  • Agora Q(x(t),y(t)): Q(x(t),y(t))=x(t)-2y(t)=\sin t - 2\sin^{2}t.Multiplicando por y'(t): Q(x(t),y(t))\,y'(t)=(\sin t - 2\sin^{2}t)\cdot(2\sin t\cos t).Expando esse produto: (\sin t - 2\sin^{2}t)\cdot(2\sin t\cos t) =2\sin^{2}t\cos t - 4\sin^{3}t\cos t.
  • Somando as duas partes obtemos a integranda em t: \sin^{4}t\cos t + 2\sin^{2}t\cos t - 4\sin^{3}t\cos t.
  • Portanto a integral de linha vira \int_{0}^{\pi/2} \big(\sin^{4}t\cos t + 2\sin^{2}t\cos t - 4\sin^{3}t\cos t\big)\,dt.

Passo 6

Faça a substituição inteligente u=\sin t (aqui a aula rápida do porquê):
  • Se u=\sin t, então du=\cos t\,dt. Isso é muito útil porque toda a integral tem um fator \cos t\,dt.
  • Os limites em t: quando t=0 temos u=\sin 0=0; quando t=\dfrac{\pi}{2} temos u=\sin\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=1.
  • Reescrevendo a integranda em termos de u: \sin^{4}t\cos t\,dt = u^{4}\,du,\qquad 2\sin^{2}t\cos t\,dt = 2u^{2}\,du,\qquad -4\sin^{3}t\cos t\,dt = -4u^{3}\,du.
  • Assim a integral fica \int_{0}^{\pi/2} \big(\sin^{4}t\cos t + 2\sin^{2}t\cos t - 4\sin^{3}t\cos t\big)\,dt = \int_{0}^{1} \big(u^{4}+2u^{2}-4u^{3}\big)\,du.

Passo 7

Integro termo a termo (mostrando cada conta):
  • \displaystyle \int_{0}^{1} u^{4}\,du = \left[\frac{u^{5}}{5}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{5}.
  • \displaystyle \int_{0}^{1} 2u^{2}\,du = 2\left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{2}{3}.
  • \displaystyle \int_{0}^{1} -4u^{3}\,du = -4\left[\frac{u^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = -1.
Somando os resultados:
\frac{1}{5}+\frac{2}{3}-1.
Colocando em denominador comum 15:
\frac{3}{15}+\frac{10}{15}-\frac{15}{15}=\frac{3+10-15}{15}=\frac{-2}{15}.

Passo 8

Interpretação final: o valor da integral de linha é -\dfrac{2}{15}. É um número negativo porque a contribuição do termo -4u^{3} dominou a soma dos outros dois termos no intervalo [0,1].

Resposta

-\dfrac{2}{15}

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