Calcule a integral de linha
, onde
esta parametrizada por
.
Passo 1
O que o problema pede e quais dados nos foram dados:
- Pede calcular a integral de linha
. - A curva
está parametrizada por - Informações extraídas do enunciado:
-
. -
. - O parâmetro varia de
até .
-
Passo 2
Fórmula que vou usar (explicada passo a passo):
- Para uma curva parametrizada por
, com , a integral de linha transforma-se em Explicando: e são as funções que aparecem na integral; e são as derivadas de e em relação a . Substituindo e obtemos uma integral em que podemos calcular normalmente.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
- Aqui
e . - Como já identifiquei em
Passo 4
- Calculo as derivadas:
Passo 5
Substituo
na fórmula e simplifico passo a passo:
- Primeiro avalio
: Multiplicando por : - Agora
: Multiplicando por : Expando esse produto: - Somando as duas partes obtemos a integranda em
: - Portanto a integral de linha vira
Passo 6
Faça a substituição inteligente
(aqui a aula rápida do porquê):
- Se
, então . Isso é muito útil porque toda a integral tem um fator . - Os limites em
: quando temos ; quando temos . - Reescrevendo a integranda em termos de
: - Assim a integral fica
Passo 7
Integro termo a termo (mostrando cada conta):
Somando os resultados:
Colocando em denominador comum
:
Passo 8
Interpretação final: o valor da integral de linha é
. É um número negativo porque a contribuição do termo
dominou a soma dos outros dois termos no intervalo
.