Calcule a integral de linha
\int_{\gamma} \frac{x d y-y d x}{x^{2}+y^{2}}
nos seguintes casos.
\gamma é o caminho \gamma(t)=(2+\cos t, sent) e 0 \leq t \leq 4 \pi.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de linha
\int_{\gamma} \frac{x\,dy - y\,dx}{x^{2}+y^{2}}
onde o caminho \gamma é dado pela parametrização
\gamma(t) = \bigl(2+\cos t,\; \sin t\bigr), \qquad 0 \le t \le 4\pi.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A curva é a circunferência de raio 1 centrada em (2,0).
  • O parâmetro t varia de 0 a 4\pi, ou seja, a curva é percorrida duas voltas completas no sentido positivo (sentido anti-horário).
  • O ponto (0,0) (a origem) não está na parametrização (verificaremos se está dentro ou fora da curva).
    A tarefa é calcular a integral de linha indicada ao longo dessa curva.

Passo 2

Primeiro vou relembrar e demonstrar uma identidade útil (muito usada em provas): se x=x(t) e y=y(t) são funções suaves e z(t)=x(t)+i y(t), então
\frac{d}{dt}\arg z(t)=\frac{x(t)\,y'(t)-y(t)\,x'(t)}{x(t)^2+y(t)^2},
desde que z(t)\neq0 e se tomar uma escolha contínua do argumento ao longo da curva. Explicando passo a passo:
  • A função \arg z é, localmente, a função ângulo \theta tal que x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta com r=\sqrt{x^2+y^2}.
  • Diferenciando \theta=\arctan(y/x) (quando x\neq0) ou usando a derivada complexa \frac{d}{dt}\arg z=\operatorname{Im}\!\bigl(\frac{z'}{z}\bigr) chega-se ao resultado acima.
    Portanto o integrando da integral de linha satisfaz
\frac{x\,dy-y\,dx}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x(t)\,y'(t)-y(t)\,x'(t)}{x(t)^2+y(t)^2}\,dt = \frac{d}{dt}\bigl(\arg z(t)\bigr)\,dt.
Logo a integral ao longo de \gamma é a variação total do argumento de z(t)=x(t)+iy(t) quando t vai de 0 a 4\pi:
\int_{\gamma}\frac{x\,dy-y\,dx}{x^{2}+y^{2}} =\int_{0}^{4\pi}\frac{d}{dt}\bigl(\arg z(t)\bigr)\,dt =\Delta\arg z(t)\big|_{0}^{4\pi}.

Passo 3

Agora aplico isso ao nosso caso específico. Primeiro calculo x(t) e y(t) e suas derivadas:
x(t)=2+\cos t,\qquad y(t)=\sin t,
x'(t)=-\sin t,\qquad y'(t)=\cos t.
Posso também calcular explicitamente o numerador e denominador (opcional, para verificar):
x(t)\,y'(t)-y(t)\,x'(t)=(2+\cos t)\cos t + \sin^2 t=2\cos t + \bigl(\cos^2 t+\sin^2 t\bigr)=2\cos t+1,
x(t)^2+y(t)^2=(2+\cos t)^2+\sin^2 t=4+4\cos t+\cos^2 t+\sin^2 t=5+4\cos t.
Logo, escrevendo a integral em termos de t,
\int_{\gamma}\frac{x\,dy-y\,dx}{x^{2}+y^{2}} =\int_{0}^{4\pi}\frac{2\cos t+1}{5+4\cos t}\,dt.
Isso serve como expressão direta; mas para a resolução mais elegante e rápida vamos voltar à interpretação via argumento.

Passo 4

Para aplicar a interpretação via argumento, preciso verificar o comportamento do argumento \arg z(t) ao longo da curva. Observe que
x(t)=2+\cos t \quad\Rightarrow\quad 1 \le x(t) \le 3
porque \cos t\in[-1,1]. Em particular x(t)>0 para todo t. Isso é importante porque quando x(t)>0 para todos os t a função \theta(t)=\arg z(t)=\arctan\!\bigl(\tfrac{y(t)}{x(t)}\bigr) pode ser escolhida contínua sem saltos de ramo (não se cruza o eixo negativo de x, que é onde a definição do argumento pode “pular” por 2\pi).
Como x(t)>0 para todo t, os ângulos \theta(t) permanecem sempre no intervalo \bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr) (ou num intervalo congruente), e portanto não ocorrem saltos de 2\pi. Além disso a parametrização é periódica com período 2\pi e a curva fechada volta ao mesmo ponto quando t aumenta de 2\pi. Assim, ao percorrer 0 a 2\pi a variação líquida de \arg z(t) é 0; ao percorrer 0 a 4\pi (duas voltas) a variação total também é 0. Em termos topológicos: a circunferência centrada em (2,0) com raio 1 está inteiramente no semiplano direito x>0, portanto não envolve a origem; o índice (winding number) da curva em relação à origem é 0. A integral do campo dado é exatamente 2\pi vezes esse índice, logo é 0.

Passo 5

Colocando de forma clara e pronta para a prova:
  • A forma diferencial \dfrac{x\,dy-y\,dx}{x^{2}+y^{2}} é a diferencial do argumento \arg(x+iy).
  • Como x(t)=2+\cos t>0 para todo t, a função \arg(x(t)+iy(t)) é contínua e retorna ao mesmo valor ao final de cada volta; não há ganho líquido de ângulo após uma volta.
  • Portanto a variação total do argumento em t\in[0,4\pi] é 0.
    Consequentemente,
\int_{\gamma}\frac{x\,dy-y\,dx}{x^{2}+y^{2}}=0.

Resposta

\,0\,

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