A curva é a circunferência de raio 1 centrada em (2,0).
O parâmetro t varia de 0 a 4\pi, ou seja, a curva é percorrida duas voltas completas no sentido positivo (sentido anti-horário).
O ponto (0,0) (a origem) não está na parametrização (verificaremos se está dentro ou fora da curva).
A tarefa é calcular a integral de linha indicada ao longo dessa curva.
Passo 2
Primeiro vou relembrar e demonstrar uma identidade útil (muito usada em provas): se x=x(t) e y=y(t) são funções suaves e z(t)=x(t)+i y(t), então
desde que z(t)\neq0 e se tomar uma escolha contínua do argumento ao longo da curva. Explicando passo a passo:
A função \arg z é, localmente, a função ângulo \theta tal que x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta com r=\sqrt{x^2+y^2}.
Diferenciando \theta=\arctan(y/x) (quando x\neq0) ou usando a derivada complexa \frac{d}{dt}\arg z=\operatorname{Im}\!\bigl(\frac{z'}{z}\bigr) chega-se ao resultado acima.
Portanto o integrando da integral de linha satisfaz
Isso serve como expressão direta; mas para a resolução mais elegante e rápida vamos voltar à interpretação via argumento.
Passo 4
Para aplicar a interpretação via argumento, preciso verificar o comportamento do argumento \arg z(t) ao longo da curva. Observe que
x(t)=2+\cos t \quad\Rightarrow\quad 1 \le x(t) \le 3
porque \cos t\in[-1,1]. Em particular x(t)>0 para todo t. Isso é importante porque quando x(t)>0 para todos os t a função \theta(t)=\arg z(t)=\arctan\!\bigl(\tfrac{y(t)}{x(t)}\bigr) pode ser escolhida contínua sem saltos de ramo (não se cruza o eixo negativo de x, que é onde a definição do argumento pode “pular” por 2\pi).
Como x(t)>0 para todo t, os ângulos \theta(t) permanecem sempre no intervalo \bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr) (ou num intervalo congruente), e portanto não ocorrem saltos de 2\pi. Além disso a parametrização é periódica com período 2\pi e a curva fechada volta ao mesmo ponto quando t aumenta de 2\pi. Assim, ao percorrer 0 a 2\pi a variação líquida de \arg z(t) é 0; ao percorrer 0 a 4\pi (duas voltas) a variação total também é 0. Em termos topológicos: a circunferência centrada em (2,0) com raio 1 está inteiramente no semiplano direito x>0, portanto não envolve a origem; o índice (winding number) da curva em relação à origem é 0. A integral do campo dado é exatamente 2\pi vezes esse índice, logo é 0.
Passo 5
Colocando de forma clara e pronta para a prova:
A forma diferencial \dfrac{x\,dy-y\,dx}{x^{2}+y^{2}} é a diferencial do argumento \arg(x+iy).
Como x(t)=2+\cos t>0 para todo t, a função \arg(x(t)+iy(t)) é contínua e retorna ao mesmo valor ao final de cada volta; não há ganho líquido de ângulo após uma volta.
Portanto a variação total do argumento em t\in[0,4\pi] é 0.
Consequentemente,